집밖은 위험해

스칼라 함수 scalar function

- 함수의 크기만을 구하는 함수

벡터 함수 vector function

- 크기와 방향을 동시에 가지는 함수

- 스칼라 값들을 요소로 가짐

벡터장 vector filed

- 벡터 함수의 크기와 방향을 함께 그린 그래프

ex. 속도장 velocity field, 힘장 force filed, 자기장 magnetic field

오늘은 어제보다 공부를 많이 하지는 못했다.

그렇다고 아주 적지는 않지만 그냥 적당히 한것 같구

대신 방통대에 지원하고, 은근히 다른 일들이 생각보다 많았다.

원래는 피터슨 영상을 보려고 했지만

지금은 조금 마음이 잡혀서인지

피터슨 처럼 자기 개발 영상이 잘 잡히지는 않더라

그러다가 유튜브 알고리즘이 이전부터 계속 추천하던 다큐멘터리를 한번 보게되었다.

고시원에 사는 사람들 이야기인데

어려운 환경에서도 격려 하면서 지내는 사람들과

한 없이 베푸시는 원장님 나온다.

댓글도 그렇지만 원장님이 정말 대단하신분이시다.

방통대 지원

 그리고 오늘 방통대 지원 마지막날인데 방통대 정보 통계학과에 지원했다.

개발자가 부족하다고 하지만 특히 통계적 지식을 갖춘 개발자가 많이 부족하다고 한다.

인공지능, 로봇 공학 등 다양한 분야에서 확률적인 개념들이 활용되고 있으니 매우 중요하긴 하다.

원래는 지원할 생각은 없었는데,

이전에 잠깐 학위 받으려고 컴공과에 등록했다가

방통대가 아닌 학점은행제로 컴공 학위를 받으면서

방통대 학적을 방치하다보니 재적 처리가 되었더라

그렇게 등록된 내 정보를 따라서 지원 연락이 오길래

고민해보다가 통계학도 공부하고 통계학사 학위도 받아보고 싶어서 지원하게 되었다.

특히 통계학과에서 배우는 교과목들 중에서 배우고 싶은 과목들이 많았다.

회귀 모형부터 다변량 분석, 데이터 마이닝, 비정형 데이터 분석 등

최근 공업수학과 별개로도 매우 중요한 과목들이지만

이러한 과목들로 좋은 강의를 제공하는데를 아직 찾질 못하다 보니

다녀보고 싶어 지더라

맛보기 강의도 잠깐 보니 공부하는데 너무 어렵지도 않고 괜찬아 보였다.

주미 파워유저 신청

 예전에 우리나라에서 유명한 로봇 공학자이신 표윤석 박사님이 운영하시는

오로카 ( 오픈로보틱스) 라고 하는 카페에 가입한 적이 있었다.

가끔 눈팅하면서 좋은 정보가 없는지 보고 있는데

이번에 자율주행 자동차 플랫폼 주미 파워 유저를 모집한다는 광고를 보게 되었다.

주미는 교육용 로봇 플랫폼인데

가장 유명한 로봇 플랫폼인 터틀봇에 비해

작고 간단하게 되어있다.

주미 내부 구성은

라즈베리 파이 제로, 파이카메라, IMU 정도 들어있어 보이던데

이정도만 해도 간단한 알고리즘 실험 정도 해보는데 충분할것 같고

사실 지금 공부 하는 내용들을 정리해서

한번 라즈베리파이로 로봇을 만들어 적용을 해봐야지 생각은 하고 있었다.

하지만 지금 공부하는 내용도 벅차서

간단한 이동 로봇을 만들기는 막막해 하고 있었는데,

마침 구동부나 하드웨어 걱정없는 플랫폼인 주미가 출시되면서

마침 파워 유저를 모집하고 있더라

그래서 이번에 지원해서

기회가 된다면 필터나 SLAM 실험들을 해서

기록을 남겨보고 싶다.

링크 : cafe.naver.com/ArticleRead.nhn?clubid=25572101&articleid=23847&referrerAllArticles=true

이전에 캡처한 좋은 글이 있었는데

그 글을 썻던분이 다시 올리신 내용이 있더라

책 몇가지도 소개해주고 계시는게 있길래

한번 빌려보려고 캡처

2020-07-14

- 지난 시간에는 대부분의 자연 현상과 공학 문제를 다루기 위한 2차 미분 방정식과 이에 대한 해를 구하는 방법 그리고, 쉽게 해를 구하기 위해서 라플라스 변환과 다양한 급수들을 보고 그 동안 미분 방정식의 해를 구하기 위해 수학적 정리를 활용하는 해석적 방법을 사용하였다면, 해석적 방법을 사용할 수 없는 경우 컴퓨터를 활용하여 실제 해에 가까운 근사해를 구하는 방법인 수치적인 방법 등을 살펴보았습니다. 이번 시간에는 그 이후의 벡터와 행렬 이론 그리고, 벡터의 미적분에 앞서 다변수 함수와 그의 미분에 대해서 살펴보았습니다.

- 우선 벡터 기초를 보면서 벡터와 스칼라의 차이를, 그리고 내적과 외적에 대해서 보았는데 그 동안 내적과 외적에 대해서 점곱, 교곱 정도로만 이해하고 이러한 곱셈 연상의 의미를 잘 몰랐었으나 이번에 보면서 내적이 두 벡터의 차원을 줄여 스칼라를 만들고, 외적은 두 벡터를 곱하여 벡터를 만드는 연산이라는 차이를 이해할 수 있었습니다. 그 이외에 단위 벡터, 벡터 공간과 기처 그리고 차원에 대한 개념들을 복습 하면서 더 명확하게 정리 하였습니다.

- 그 다음으로 행렬 이론에 대해서 살펴보았습니다. 다양한 수학적 문제를 다룰때 간단히 정리하기 위해서 행렬을 많이 사용하였었는데, 행렬의 기초와 주대각성분, 역행렬, 전치행렬, 마르코브 과정 등 다양한 행렬 관련한 개념들을 간단히 살펴볼수 있었습니다.

- 행렬에서 가장 중요한 행렬식을 살펴보면서, 그 동안 행렬식이 자주 사용되었는데 행렬식에 대한 자세한 의미는 잘 모르고 있었습니다. 하지만 행렬식이란게 행렬의 판별식이고, 행렬식의 다양한 활용과 성질들을 알아볼수 있었습니다. 특히 행렬식을 공부할떄마다 여인수와 수반행렬의 개념에 대해서 힘들었었는데 여인수의 개념과 이러한 여인수들로 이루어진 수반 행렬을 구하고, 행렬식과 수반행렬을 통해 역행렬을 구하는 방법 등 그 동안 알고 있던 부분과 모르고 있던 부분들을 조금씩 더 채울수 있었습니다.

- 이후에는 그 동안 다루었던 선형 시스템을 행렬로 표현하고, 그 해를 구하는 과정에 대해서 살펴보았습니다. 대표적인 가우스 소거법을 이용해서 선형 시스템을 첨가 행렬로 만들고 이를 역대입 하는 과정을 통해 마지막 해부터 차례 차례 첫번째 해까지 구하는 과정들을 정리하였으며, 이전에 살펴본 행렬식과 여인수를 이용하여 k번째 열의 해를 구하는 크래머 공식까지 학습 하였습니다.

- 이렇게 벡터와 행렬 이론 전반에 대해서 살펴보고 나서 벡터의 미분과 적분에 대해서 학습하여야 하나 이 때 사용되는 기초 개념인 다변수 함수와 상미분, 평미분 등의 개념들을 다시 복습하면서 오늘 학습을 마무리 하였습니다.

다변수 함수 개요

- 대부분의 현상과 공학 문제는 다변수 함수로 표현됨

1변수 함수 single variable funtion

- y = f(x)와 같이 하나의 독립 변수만을 가지는 함수

도함수(미분)

- 1변수 함수에서 함수 y의 x에 대한 변화율

다변수 함수 mutiple variable function

- f(x, y) = z와 같이 독립 변수가 2개 이상인 함수

등위 곡선 level curve

- 2변수 함수에 z = c 로 얻을수 있는 곡면

상미분 ordinary derivative

- 1변수 함수 y = f(x)의 도함수(미분)

편미분 partial derivative

- 다변수 함수에서 종속변수의 한개의 독립변수에 대한 변화율

계급 rank

- 행렬 A가 주어질때, 1차 독립인 행 벡터의 최대 갯수를 계급이라 부름. rank A로 표기

* 행 벡터가 3개가 있더라도 1차 독립인 행 벡터가 2개 뿐이면 계급은 2가 됨.

동차 선형 시스템 homogeneous linear system

- 입력 벡터 B가 0인 선형 시스템으로 자명해 trivial solution은 모두 0이 됨.

역행렬 inverse matrix

- 정사각 행렬 A, B가 주어질때 A B = I를 만족하는 행렬 B는 A의 역행렬

역행렬의 존재 여부에 따른 분류

- 정착 행렬 regular matrix, 가역행렬 invertible matrix : 역행렬이 존재하는 행렬

- 특이 행렬 singular maxtrix : 역행렬이 존재하지 않는 행렬

행렬식 determinant

- 행렬의 판별식

- 2 x 2 행렬식

- 3 x 3 행렬식

부분행렬 submatrix

- 성분 a_ij의 행과 열을 제외한 행렬

여인수 cofactor

-해당 행렬의 성분에 대한 부분 행렬의 행렬식

수반 행렬 adjoint matrix

- 행렬 A의 역행렬을 구할때 사용되는 행렬

수반 행렬로 역행렬 구하기

크래머의 공식 cramer's formula

- 선형 시스템 AX = B가 주어질떄 k번쨰 성분의 해를 구하는 법

가우스 소거법 gauss elimination method

- 선형 시스템의 해를 구하는 방법 중 하나

- 행이나 열을 서로 교환하거나 기본 행연산을 쉽게 정리하도록 선형 시스템 AX = B에서 행렬 A와 열 벡터 B결합하여 아래의 첨가 행렬 augmented matrix을 만듬 

- 첨가 행렬을 사다리형 행렬 echelon form로 변환 후 아래에서 위로 역대입 backward subsitution하여 미지수를 구함

사다리형 echelon form만들기

1. 행렬 A의 a_11을 기준으로 a_i1(2 <= i <= n)을 0으로 만듦

2. a_22를 기준으로 a_i2(3<=i<=n)을 0으로 만듦

3. 위 과정을 반복하여 행렬 A의 주대각성분 아래 모든 요소들을 0으로 만듬

- 다음 행의 성분들을 0으로 만들기 위해 각 행들은 다음 연산을 수행(예제 보면서 이해 필요)

4. 사다리형 결과

역대입 backward subsitution

- 사다리형의 마지막 행인 n행에서 x_n을 구하고

- 이를 순차적으로 역대입하여 나머지 미지수를 구할 수있음

가우스 소거법을 이용현 선형 시스템의 해를 구하기

1. 선형 시스템 행렬로 정리하기

- 다음의 선형 시스템이 주어질 때

- 행렬로 정리하면 아래와 같다

2. 사다리꼴 만들기

- 이를 사다리꼴 형태로 정리하기 위해 첨가 행렬을 구하면 다음과 같다.

- 2번째, 3번쨰 행의 첫번째 요소를 0으로 만들기 위해, a_11을 기준으로 m_ki를 구하면

- 다음의 연산을 수행하면 2, 3번쨰 행의 첫번쨰 요소들이 0이 된다.

- 3번째 행의 2번째 요소도 0으로 만들어주어야 하므로 m_32를 구하고 연산을 수행하자

3. 역대입 수행하기

- 역대입을 통해 마지막 행 x_3을 다음과 같이 구할수 있음

4. 선형 시스템의 해 정리

- 선형 시스템에서 가우스 소거법으로 구한 해는 다음과 같다.

가우스 조던 소거법

- 가우스 소거법에서 계수 행렬 A를 위삼각 행렬로 만들고, 임의의수 한개만 존재하는 마지막 행에서 역대입으로 모든 해를 구함

- 첨가 행렬을 대각 또는 단위 행렬로 만들면, 각 행이 한개의 임의의 수만 가짐 -> 역대입 불필요

=> 가우스-조던 소거법

* 계수 행렬 A를 단위 또는 대각 행렬로 만드는데 연산이 더 많이 필요함

행렬식 determinant

- 정사각행렬 A에 대한 식으로 행렬에 대한 판별식

- 아래와 같이 표기

행렬식과 다양한 행렬들

- 행렬 A가 주어질때

- 특이행렬 singular matrix : detA = 0일때, A는 특이 행렬

- 일반 행렬 regular matrix : detA != 0 일때, A는 일반 행렬

행렬식 계산 방법

1. 여인수법

2. 삼각형법

이 있으나 생략

선형 시스템의 중요성

- 많은 자연, 공학 분야의 문제가 선형 시스템으 표현함

 -> 선형 시스템의 해를 구하는것이 매우 종요함.

- 현상을 미분 방정식으로 나타내도 해석적으로 해를 못구하는 경우 수치적으로 구해야 함.

차분 방정식 difference equation

- 수치적으로 구하는 경우 미분 방정식을 작게 나눈 구간으로 얻는 차분 방정식을 품

- 차분 방정식은 대규모 선형 시스템으로 이루어 짐

선형 시스템의 해를 구하는 방법

1. 직접 법 direct method

- 가우스 소거법, 역행렬, 크래머 공식

2. 반복법 iterative method

- 수치적 방법에서 많이 사용

선형 방정식 linear equation

- 상수 a, b, c, d가 주어지고 변수 x, y, z에 대한 아래와 같은 식을 선형 방정식이라 함

- 일반화하여 선형 방정식을 정리하자면 다음과 같다.

선형 시스템 linear system

- 여러개의 선형방정식으로 이루어 진 형태를 선형 시스템(1차 연립방정식)이라고 부름.

- 미지수 n개인 m개의 선형 방정식으로 이루어진 선형 시스템은 아래와 같음.

선형 시스템의 행렬 표현

- 행렬 A : m x n 형태의 계수 행렬 coefficient matrix

- 벡터 X : n x 1의 해 벡터 solution vector

- 벡터 B = m x 1의 입력 벡터 input vector

선형 시스템의 관련 용어

- 동차 선형 시스템 homogeneous linear system : 입력 벡터 B의 성분들이 모두 0인 경우의 선형 시스템

- 비동차 선형 시스템 nonhomogeneous linear system : 동차 선형 시스템이 아닌 선형 시스템

- 과잉결정 over determined : 식의 개수 m이 계수의 갯수 n보다 많은 경우

- 결정 determined : 식과 계수의 갯수가 같은 경우

- 과소 결정 under determined : 식이 계수보다 수가 적은 경우

- 일치 consistent : 해를 적어도 한개라도가지는 경우

- 불일치 inconsistent : 해가 전혀 없는 경우

행렬

- 숫자를 직사각형 형태로 나열

- 선형계 해석, 고유값 문제, 최적화, 컴퓨터 그래픽 등 다양한 분야에서 응용

미분 방정식 경계값 문제에서의 행렬

- 수치적으로 풀면 결과가 행렬로 연립방정식의 해를 구하는 문제가 됨

행렬 matrix

- 직사각형 형태의 숫자들의 배열

정사각행렬 square matrix

- 행과 열의 길이가 같은 행렬

- 주대각성분 principal diagonal component : 정사각행렬의 대각선 위의 성분

영행렬

- 행렬의 모든 성분이 0인 행렬

사상 mapping 및 변환 transformation

- 벡터 공간 X, Y에서 X에속하는 벡터 x가 Y에 속하는 벡터 y에 대해 y = F(x)로 대응 correspondence하는 것

1차 변환 linear transform

- 선형성을 만족하는 변환

확률 행렬 stochastic matrix

- 모든 성분이 음의 값이 아니고, 각 행 요소들의 합이 1인 정사각행렬

마르코브 과정 markov process

- 현재 상태에 대한 확률이 이전 상태에 의존하는 확률 과정

전치 행렬 transpose matrix

- 행과 열을 바꾸어 얻는 행렬

삼각행렬 triangular matrix

대각행렬 diagonal matrix

- 주대각 성분을 제외하고 나머지 요소들이 0인 행렬

스칼라 행렬 scalar matrix

- 주대각성분이 모두 같은 대각 행렬

단위 행렬 unit matrix

- 주대각성분이 1인 스칼라행렬

벡터 공간의 개요

- 벡터를 2차원, 3차원에서 제한할 것이 아니라 n차원 까지 확장하여 다룰수 있음

- 이런 확장된 차원의 벡터를 벡터 공간 집합의 원소로서 다룸

벡터 공간 vector space

- 집합 V가 덧셈과 스칼라곱이 정의되는 원소 집합일때, 10가지 공리를 만족하는 집합 V를 벡터 공간

- 벡터 공간 V의 원소를 벡터

* 자세한 공리는 생략

- 스칼라를 실수로 제한하면 -> 실 벡터 공간 real vector space

- 복소수 까지 다룬다면 -> 복소 벡터 공간 complex vector space

벡터 공간의 예시

1. 실수 집합 R

2. n차원 실벡터의 집합 R^n

3. n차 이하 다항식 집합 P_n

4. 모든 실수에 정의되는 실 함수 f 집합

등

부분 공간 subspace

- 벡터 공간 V의 부분집합 W가 V에서 정의되는 덧셈과 스칼라곱을 따르는경우

 => 부분집합 W는 벡터 공간 V의 부분 공간

1차 결합 linear combination

- 아래와 같이 스칼라에 대해 벡터가 주어지면 1차 결합

1차 독립 linear independent 및 1차 종속 linear dependent

- 아래의 벡터와 스칼라의 1차 결합이 c1 = c2 = ... = c0에서만 성립되면 벡터들은 1차 독립

- 아닌 경우에 성립되면 1차 종속

기저 basis

- 벡터 공간 V의 모든 벡터가 1차 독립인 벡터 x1, x2, ..., xn의 1차 결합으로 표현가능한 경우

 -> x1, ... , xn을 벡터 공간 V의 기저

차원 dimension

- 기저를 이루는 벡터의 갯수를 벡터공간 V의 차원 -> dimV 로 표기

생성공간 span

- 주어진 벡터의 모든 1차 결합 집합

벡터의 곱

- 내적 inner proudct와 외적 outer product

내적이란?

- 두 벡터의 곱으로 차원이 하나 감소하여 내적이라 부름.

- 점 연산이라 dot product 혹은 결과가 스칼라 값이라 scalar product라고도 부름

사영벡터란?

- 두 벡터 a와 b가 주어질때, b를 a의 벡터 선상에 사영하여 얻는 a방향의 벡터

 => a에 대한 b의 사영벡터 projection vector of b onto a

- 내적의 정의에 따라 b의 a방향 성분을 구하면

- 사영 벡터의 크기

- 단위 벡터를 이용한 사영 벡터 표현

외적 outer product

- 외적에 의해 하나의 차원이 증가하여 외적이라고 부름.

- 두 벡터 a, b의 외적을 a x b로 표기하므로 cross product

- 혹은 외적의 결과가 벡터이기 때문에 vector product

외적 계산

-  다음과 같이 벡터 성분이 주어질때 외적 계산 

자연에서의 물리량

- 스칼라 scalar : 크기만 가지는 양. ex : 길이, 거리, 속력, 일

- 벡터 vector : 크기와 방향을 갖는 양. ex : 위치, 변위, 속도, 힘

위치

- 변위 displacement : 위치의 변화

- 위치 벡터 position vector : 해당 위치를 향하는 물리량

벡터

- 시작점 O와 끝점 A을 가짐

- 벡터의 성분 : 시작점을 원점으로 하여 끝점의 좌표축에 대한 요소

- 평면 벡터의 성분

- 벡터의 크기 norm, magnitude

단위 벡터 unit vector

- 크기가 1인 벡터. 벡터 a와 같은 방향을 갖는 단위 벡터 u는 아래와 같음

방향 단위 벡터 directional unit vector

- 각 좌표축에 평행한 단위 벡터

- 3차원 직교좌표계상 x, y, z방향에 대한 방향단위벡터를 i, j, k로 정의

- 각 방향 단위벡터의 요소는 i = [1, 0, 0], j = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1]

- 임의의 벡터 a = [a1, a2, a3]은 다음과 같이 방향 단위 벡터로 표현 가능