공업수학 - 30. 행렬식과 선형 시스템

행렬식 determinant

- 정사각행렬 A에 대한 식으로 행렬에 대한 판별식

- 아래와 같이 표기

 

행렬식과 다양한 행렬들

- 행렬 A가 주어질때

- 특이행렬 singular matrix : detA = 0일때, A는 특이 행렬

- 일반 행렬 regular matrix : detA != 0 일때, A는 일반 행렬

 

행렬식 계산 방법

1. 여인수법

2. 삼각형법

이 있으나 생략

 

 

 

 

 

선형 시스템의 중요성

- 많은 자연, 공학 분야의 문제가 선형 시스템으 표현함

 -> 선형 시스템의 해를 구하는것이 매우 종요함.

- 현상을 미분 방정식으로 나타내도 해석적으로 해를 못구하는 경우 수치적으로 구해야 함.

 

 

차분 방정식 difference equation

- 수치적으로 구하는 경우 미분 방정식을 작게 나눈 구간으로 얻는 차분 방정식을 품

- 차분 방정식은 대규모 선형 시스템으로 이루어 짐

 

 

 

선형 시스템의 해를 구하는 방법

1. 직접 법 direct method

- 가우스 소거법, 역행렬, 크래머 공식

 

2. 반복법 iterative method

- 수치적 방법에서 많이 사용

 

 

 

선형 방정식 linear equation

- 상수 a, b, c, d가 주어지고 변수 x, y, z에 대한 아래와 같은 식을 선형 방정식이라 함

- 일반화하여 선형 방정식을 정리하자면 다음과 같다.

 

 

선형 시스템 linear system

- 여러개의 선형방정식으로 이루어 진 형태를 선형 시스템(1차 연립방정식)이라고 부름.

- 미지수 n개인 m개의 선형 방정식으로 이루어진 선형 시스템은 아래와 같음.

 

선형 시스템의 행렬 표현

- 행렬 A : m x n 형태의 계수 행렬 coefficient matrix

- 벡터 X : n x 1의 해 벡터 solution vector

- 벡터 B = m x 1의 입력 벡터 input vector

 

선형 시스템의 관련 용어

- 동차 선형 시스템 homogeneous linear system : 입력 벡터 B의 성분들이 모두 0인 경우의 선형 시스템

- 비동차 선형 시스템 nonhomogeneous linear system : 동차 선형 시스템이 아닌 선형 시스템

- 과잉결정 over determined : 식의 개수 m이 계수의 갯수 n보다 많은 경우

- 결정 determined : 식과 계수의 갯수가 같은 경우

- 과소 결정 under determined : 식이 계수보다 수가 적은 경우

- 일치 consistent : 해를 적어도 한개라도가지는 경우

- 불일치 inconsistent : 해가 전혀 없는 경우