공업수학 - 28. 벡터 공간

벡터 공간의 개요

- 벡터를 2차원, 3차원에서 제한할 것이 아니라 n차원 까지 확장하여 다룰수 있음

- 이런 확장된 차원의 벡터를 벡터 공간 집합의 원소로서 다룸

 

 

벡터 공간 vector space

- 집합 V가 덧셈과 스칼라곱이 정의되는 원소 집합일때, 10가지 공리를 만족하는 집합 V를 벡터 공간

- 벡터 공간 V의 원소를 벡터

* 자세한 공리는 생략

- 스칼라를 실수로 제한하면 -> 실 벡터 공간 real vector space

- 복소수 까지 다룬다면 -> 복소 벡터 공간 complex vector space

 

 

 

 

벡터 공간의 예시

1. 실수 집합 R

2. n차원 실벡터의 집합 R^n

3. n차 이하 다항식 집합 P_n

4. 모든 실수에 정의되는 실 함수 f 집합

등

 

 

 

부분 공간 subspace

- 벡터 공간 V의 부분집합 W가 V에서 정의되는 덧셈과 스칼라곱을 따르는경우

 => 부분집합 W는 벡터 공간 V의 부분 공간

 

 

 

 

1차 결합 linear combination

- 아래와 같이 스칼라에 대해 벡터가 주어지면 1차 결합

 

 

1차 독립 linear independent 및 1차 종속 linear dependent

- 아래의 벡터와 스칼라의 1차 결합이 c1 = c2 = ... = c0에서만 성립되면 벡터들은 1차 독립

- 아닌 경우에 성립되면 1차 종속

 

 

기저 basis

- 벡터 공간 V의 모든 벡터가 1차 독립인 벡터 x1, x2, ..., xn의 1차 결합으로 표현가능한 경우

 -> x1, ... , xn을 벡터 공간 V의 기저

 

 

차원 dimension

- 기저를 이루는 벡터의 갯수를 벡터공간 V의 차원 -> dimV 로 표기

 

 

생성공간 span

- 주어진 벡터의 모든 1차 결합 집합