집밖은 위험해

무한 급수가 필요한 이유

- 계수들이 변수인 미분 방정식은 보통 무한 급수로 해를 구함

* 예외 : 무한 급수 없이 해를 구할수 있는 변수 계수 미분 방정식 -> 코시 오일러 미분방정식

무한 수열 infinite sequence

- 항이 무한개가 존재하는 수열

무한 급수 infinite series

- 모든 항의 합

부분합 partial sum 

- n항까지의 합

수렴 converge과 발산diverge

- 수렴 : 다음의 수열의 무한 급수의 합이 2에 가까워지듯 무한 급수가 하나의 지점이 되는것

- 발산 : 무한 급수가 수렴하지 않고 무한대로 가는 것

1차 미분방정식으로 풀 수 있는 문제들

1. 집단의 개체수 증가 감소의 수학적 모델링

2. 가열 및 냉각 법칙을 이용한 수학적 모델링

3. 자유낙하운동

4. 로지스틱 미분방정식

5. 전기회로 등

2차 미분방정식으로 풀 수 있는 문제들

1. 질량-스프링-댐핑 시스템

2. RLC 회로

라플라스 변환 Laplace transform

- 적분의 한 종류로 상미분 방정식 Ordinary Differential Equation을 대수 방정식 Algebraic Equation으로 변환한다.

라플라스 변환을 하는 이유

- 현상을 수학적 모델링한 상미분 방정식을 라플라스 변환을 하여 대수 방정식을 만든 후, 대수 방정식의 해를 구하여 다시 역 라플라스 변환을 하면 상미분 방정식의 해를 얻을 수 있기 때문

라플라스 변환 

- 시간 t>=0 에서 정의됨. 여기서 t는 시간 영역(domain)이며 시간에 대한 함수 f(t)에 라플라스 변환을 수행

- 라플라스 변환을 통해 주파수 영역, 즉 s영역에 대한 함수 F(s)를 얻을 수 있음.

역 라플라스 변환 inverse laplace transform

- s영역의 함수를 다시 시간영역에 대한 함수로 변환

라플라스 변환의 선형성

- 적분과 마찬가지로 라플라스 변환도 선형성을 가짐

라플라스 변환 성질

1. 시간 이동

2. 주파수 이동

3. 미분

4. 적분

등은 생략

단위 계단 함수와 디렉 델타 함수

- 생략

라플라스 변환을 이용한 미분 방정식의 해 구하기

- 이전에 미분 방정식에서 해석적으로 구하던것보다 간단하게 풀 수 있음

연립 미분방정식 system of coupled differential equations

- 여러 미지함수가 있는 여러개(coupled)의 미분 방정식을 연립 미분방정식이라 함.

- 각 미분 방정식들이 선형인 경우와 비선형인 경우가 존재함.

선형 연립 미분 방정식

- 아래의 두 미분방정식에 함수 x(t)와 y(t)가 존재하며, 각 미분방정식들은 선형임

- 비선형인 경우 해석적(수학적 방법)으로 구할수 없음

선형 연립방정식 풀이 방법

- 대입법 subsitution method/소거법 elimination method라 부름

 -> 여러개의 함수들을 줄여 하나의 함수에 대한 미분방정식을 만듦

선형 연립미분방정식 풀이

매개변수 변화법 method of variation of parameters

- 미정 계수법 method of undetermined coefficients는 상수 계수의 비동차 미분방정식에서만 사용 가능

- 일반적인 비동차 미분방정식의 특수해는 매개변수 변화법으로 구함

=> 모든 비동차 미분방정식의 특수해를 구할 수 있음.

다음의 2차 비동차 선형 미분방정식 표준형이 주어질때

미정 계수법 method of undetermined coefficents

- 상수 계수 2차 비동차 선형 미분방정식이 주어질 때

- 비동차항의 형태에 따라 미정 계수 undetermined coefficients를 포함시키는 특수해를 가정

- 이 특수 해를 미분 방정식에 대입하여 계수 값을 구하는 방법

* 상수 계수 미분방정식에만 사용 가능

상수계수 비동차 선형 미분방정식

- g(x) != 0 일때

비동차항에서의 특수해 형태

미정 계수법 풀이 예시

코시 오일러 미분방정식 cauchy euler defferential equation

- 보통 계수가 변수들인 미방의 해는 무한 급수로 구함.

- 무한 급수법 없이 해를 구할수 있는 경우 -> 코시 오일러 미방

코시 오일러 미분방정식

- 상수 a, b, c와 x가 0보다 큰경우 정의할수 있는 2차원 미분 방정식

특성 방정식과 차이

- 특성방정식은 상수 계수를 가짐

- 코시 오일러 미분방정식은 변수 계수를 가짐

* 특성 방정식과 마찬가지로 해를 구하는 방법이 있으나 생략함

선형화 linearization

- 미분 방정식은 선형인 것과 비선형으로 구분

- 미분 방정식이 비선형인 경우 오차가 크지 않은 범위 내에 선형으로 바꾸어 해를 구할수 있음

단진자 운동의 선형화

상수 계수를 갖는 2차 동차 선형 미분방정식의 해 구하기

- 아래의 상수 계수 a, b, c를 갖는 2차 동차 미분방정식이 주어질때 

다음의 가정을 통해 특성방정식 characteristic function 을 구할 수 있음

특성 방정식의 근 경우의 수

- 서로 다른 두 실근을 갖는 경우

- 중근을 갖는 경우

- 허근을 갖는 경우

2차 미분 방정식의 해를 지수함수(y = e^{mx})로 가정한 이유

- 지수함수는 미분해도 상수곱만 다른 지수함수이며, 풀어야 하는 미방들은 상수 계수이기 때문

초기값/경계값 문제

- 대부분 미분방정식은 초기조건/경계조건이 주어진 초기값/경계값 문제가 됨

=> 일반해가 아닌 특수해 particular solution을 얻게 됨

초기값 문제 inital value problem IVP

- x의 시작점이 x = a에서 y나 y의 도함수로 초기조건이 주어지는 문제

경계값 문제 boundary value problem, BVP

- x의 경계 x = a와 x = b에서 y나 y의 도함수로 경계조건 boundary condition 이 주어지는 문제

공학 문제에서의 해

- 해석해 analytic solution이 존재하지 않거나 구할수 없는 경우가 존재함

-> 컴퓨터를 이용한 수치적 방법 numerical method로 근사해 approximate solution을 구해야 함