집밖은 위험해

미분방정식

미분 방정식 differential equation

- 종속 변수에 대한 독립 변수의 미분

- 미분 방정식에서의 미분이 상미분인지 편미분인지에 따라 분류됨

상미분 방정식 ordinary differential equation

- 종속 변수에 대한 독립변수의 상미분으로 이루어진 방정식

- 상미분 방정식은 1변수 함수의 미분 방정식

편미분 방정식 partial differential equation

- 종속 변수에 대한 독립 변수의 편미분으로 이루어진 방정식

- 편미분 방정식은 다변수 함수의 미분 방정식

공업 수학 관련 함수와 도함수 기초

미분 방정식에서의 수

- 상수 constan : 일정한 수

- 변수 variable : 변하는 수로 기호를 사용해 표기

함수의 형태

- y = f(x)

=> 두 변수 x와 y간의 상관 과계를 나타냄

함수의 관련 개념

- 독립 변수 independent variable : 독립적으로 변하는 변수

- 종속 변수 dependent variable : 독립 변수의 값에 따라 종속적으로 변하는 수

- 정의역 domain : 독립 변수의 집합

- 치역 range : 종속 변수의 범위

- 그래프 graph : 함수에 의해 대응되는 변수들의 관계를 그린것.

1변수/다변수 함수

- 1변수 함수 single variable function : y = f(x)과 같이 독립변수가 하나인 경우

- 다변수 함수 multiple variable function : y = f(x, y, z)와 같이 독립 변수가 여러개 인 함수

상미분 ordinary derivative

- 1변수 함수에 대한 미분

편미분 partial derivative

- 다변수 함수 z = f(x, y)는 독립 변수가 2개므로 미분도 x, y에 대한 경우 2가지가 있음.

- 각 독립 변수에 대한 미분을 편미분이라 하며 미분되지 않는 독립변수는 상수로 취급

양함수와 음함수

- 양함수 explicit function : 일반적인 함수로 독립변수 x와 종속 변수 y가 다른 항으로 나눠진 함수

- 음함수 implicit function : 독립 변수와 종속 변수가 같은 항으로 몰린 함수

수학적 모델링

 자연 과학 및 공학 분야에서 문제해결을 하기 위해서는 해당 현상이나 공학 문제를 수학적 모델링하여 방정식 구함

과학적 현상 방정식의 예시

- 파동 방정식, 맥스웰 방정식 등

방정식의 예시

- 대수 방정식 algebraic equation : 미지함수에 대한 사칙연산으로 나타내는 방정식

- 미분 방정식 differential equation : 미지수에 대한 미분으로 이루어진 방정식

- 적분 방정식 integral equation : 미지수에 대한 적분이 들어있는 방정식

- 미적분 방정식 integro-differential equation : 미지수에 대한 미분과 적분 요소를 가진 방정식

- 연립 방정식 : 여러개의 방정식들로 이루어진 방정식

해석적 방법론 analytic method

- 수학적 방법을 이용하여 해 solution을 구하는 방법

수치적 방법 numerical method

 - 컴퓨터를 이용하여 해를 구하는 방법

자연, 공학에서의 문제 해결 과정

1. 자연 현상, 공학 문제

2. 수학적 모델링

3. 대수방정식, 미분방정식, 연립방정식 등

4. 방정식의 해를 구함(해석적 or 수치적 방법으로)

5. 결과 도출

미분 방정식의 예시

1. 뉴턴의 제 2법칙

2. 가속도에 속도의 시간에 대한 미분 대입

3. m을 지우면

- 위와 같이 미분으로 이루어진 식이 미분 방정식 differential

종속변수, 독립변수

- 종속 변수 dependent variable : 독립 변수로 부터 얻을수 있는 미지 수

- 독립 변수 independent variable 

- 미분방정식을 푼다 = 미분방정식의 해를 구한다.

미분 방정식의 해

- g는 중력가속도 상수, c는 임의의 상수

초기 조건

- v(0) = 0과 같이 초기조건이 주어지면 임의의 상수 c를 구할수 있으며, 해를 정리할 수 있음.