집밖은 위험해

물체의 움직임 motion

- 3차원 공간상에서 움직임(모션)은 평행이동 translation과 회전 rotation으로 이루어짐.

- 회전은 각 축에 대해서 수행되며 3 x 3 행렬의 형태가 됨.

- 모든 회전을 나타내는 행렬 R은 하나의 군이라고도 할 수 있으며 SO_3(R)의 원소가 됨.

오일러각

- 각 축에 대한 \theta 만큼의 회전을 오일러 각이라고 함.

- 각 축에서의 오일러각 회전 행렬은 아래와 같음

군 이론 group theory

- 컴퓨터 비전과 컴퓨터 그래픽스에서 자주 등장하며, 다음과 같은 군들이 있다.

군 이란?

- 집합 G가 이항 연산자 *에 대해 다음 조건들을 만족하는 경우의 집합. 

 => (G, *)은 군 group이 됨.

1. 결합 법칙

2. 항등원, 역원의 존재

3. 아래와 같이 교환법칙이 성립하는 경우 -> (G, *)는 가환 군 commutative group

군의 종류

1. 가환군 commutative group

2. 비가환군

- 공간상 물체의 평행 이동을 의미하는 군

- 행렬식이 0이 아닌 행렬의 집합 : general linear group

- 위 집합의 부분군이며, 회전을 나타내는 집합

3차원 벡터 공간에서의 직교 행렬

- 직교행렬 orthogonal matrix : 다음의 경우를 만족하는 행렬

- 직교행렬의 모임은 아래와 같다.

직교 행렬의 성질

1. 정규 직교 행렬의 거리(노름)은 불변

 - 정규 직교 행렬 U와 벡터 x이 주어질때 노름을 구하면 다음과 같다.

2.  직교행렬 U의 열 벡터 U1, U2, U3는 3차원 벡터 공간의 정규 직교 기저 orthnormal basis

 -  O_3(R)은 직교군 orthogonal group

 - U가 O_3(R)의 원소라면, 정규직교 기저로 이루어진 직교행렬들은 다음과 같은것들이 존재함.

외적 outer product

- 두 벡터 x, y가 주어질때 외적은 아래와 같다.

- x간의 외적은 대칭 행렬이며, 양의 준확정행렬이 된다.

마할라노비스 거리

- 다음의 샘플 데이터들이 있을때

유클리디안 거리 euclidean distance

- 아래의 두 벡터 x, y가 주어질때 두 벡터 사이의 거리는 다음과 같으며, 이를 유클리디안 거리라 한다.

내적과 거리

- 거리는 벡터의 내적에서 나온 것임

내적의 행렬 표현

- 위에서 벡터 x와 y의 내적을 행렬로 바꾸면

양의 확정 행렬 positive definite matrix을 이용한 내적의 정의

- 위의 내적의 행렬 표현에서 단위 행렬 I 대신 양의 확정 행렬 A로 내적과 노름, 거리는 아래와 같다.

 => 단위 행렬 I로 내적을 정의한 경우 I-내적, 양의 확정행렬 A로 내적을 정의하면 A-내적이 된다.

그람-슈미트 직교화 과정 gram-schmidt orthogonalization process

- n 벡터 공간에서 선형 독립인 벡터 u1, ..., uk로 서로 직교인 벡터 v1, ..., vk를 만드는 과정.(k <= n)

3 벡터 공간에서 그람 슈미트 직교화 과정

- 다음과 같이 선형 독립인 3개의 벡터가 주어질때, 서로 직교인 벡터 u1, u2, u3을 구해보자

- v1 = u1으로 하고, v2는 u2에서 u1으로 투영한 벡터로 한다.

- v3은 u3을 v1, v2 평면에 사영한 벡터가 된다.

대각화 diagonalization

- 3 x 3 행렬과 선형 독립인 고유 벡터 3개가 주어질때

직교 고유벡터

- 대칭 행렬의 두 고유 벡터의 내적은 0으로 두 고유 벡터는 직교한다.

 => 직교 고유 벡터 orthogonal eigenvector

대칭 행렬의 직교 고유벡터 예시

고유치와 고유 벡터

- n차원에서 n차원으로 n x n 형태의 선형 변환 행렬 A가 주어질때, n차원 벡터 v사이 다음 관계가 성립할때

고유치와 고유 벡터 구하기 예시

함수 function

- f: X -> Y 집합 X의 원소이 집합 Y의 원소에 대응하는 관계

선형 변환 linear transformation

- m x n 행렬 A이 열벡터 x를 n차원 벡터 공간에서 m차원의 벡터 공간으로 선형 변환(차원 변환)시킨다.

어파인 변환 affine transform

- 직선의 평행 이동

기저 basis

- 아래의 벡터 공간과 벡터가 다음의 관계를 가지고

- 기저 : 아래의 조건들을 만족할때의 벡터

 -> span(S) = 벡터 공간, 벡터가 1차 독립인 경우

- 기저의 예시

내적 inner product

- 두 벡터의 곱 연산 중 하나로 차원이 줄어들어 스칼라 결과가 나옴. 스칼라 곱 or 점곱이라고도 부름

노름 norm

- 벡터의 크기를 의미

벡터 사이의 거리

- 두 벡터가 주어질때, 두 벡터 차의 노름으로 벡터 사이의 거리를 구할 수 있다.

코시-슈바르츠 부등식

- 두 벡터 a, b에 대하여 둘의 내적 값은 각각의 놈(norm)의 곱보다 작거나 같다는 부등식.

두 벡터 사이의 각 구하기

- 코시 슈바르츠 부등식으로 두 벡터 간 각을 얻을 수 있다.

두 벡터가 수직 인 경우

- 두 벡터 사이의 각이 90도 인 경우 내적은 0이 되며 아래와 같이 표기한다.

벡터 공간 vector space

- 아래의 집합이 주어질때, 덧셈과 스칼라 곱 연산이 가능하는 경우 => 아래의 집합 = 벡터 공간

벡터 공간의 예시

- 2차원 평면

- 3차원 공간

부분 공간 subspace

- 집합 A가 벡터 공간 집합의 부분 집합인 경우, A는 부분 공간

선형 결합 linear combination

- 선형 결합 : 다음의 벡터 집합과 실수 집합이 아래의 결합 관계를 가지는 경우

- 생성 span : 다음의 벡터와 실수의 모든 선형 결합

선형 독립과 선형 종속

- 아래의 선형 결합이 주어질 때

- 선형 독립 linear independent : 모든 실수(계수)가 0인 경우에만 해가 존재하는 경우 

- 선형 종속 linear dependent : 모든 실수가 0 이외에도 해가 존재하는 경우