통계 - 12. 통계적 추정 1

용어

- 추정 : 표본으로부터 모집단에 대한 값을 구해나가는 것

- 추정량 : 모수를 추정하기위한 표본의 함수

- 모수 : 모집단에 대한 특성을 나타내는 값

- 점 추정 : 모수에 대한 추정

- 구간 추정 : 점 추정 + 정확도 추정

- 신뢰 수준 : 모수의 참값이 속할것으로 기대되는 구간안에 모수가 포함될 가능성 확률

 

 

 

 

통계적 추론

- 우리 주위에 대한 데이터 수집, 요약

- 수집한 데이터로부터 일반성을 찾음

- 불확실한 사실에 대한 결론, 예측

 

 

 

기술 통계학 descriptive statistics

- 데이터의 특성들을 요약, 정리

(표본 평균, 표본 분산 등)

- 판단하기 힘듬

 

 

 

통계적 추론 구조

- 모집단 : 알고자 하는 관측 대상 -> 모든 관측값의 집합. 전체다 알기 힘듬

- 표본 : 모집단의 일부 -> 모집단에서 임의추출하여(모집단을 잘 대표하도록) 모집단을 추측한다.

- 모집단의 변수들은 어느 확률 분포를 따름

- 확률 분포 : 몇개의 모수(평균, 분산, 첨도, 왜도, 람다 등)으로 구성된 수리적 함수

 -> 이항 분포, 정규 분포 등

 

 

모집단의 파악

- 정규 분포의 모수 : 모 평균과 모분산

- 이항분포의 모수 : 모비율

- 카이제곱 분포, t분포는 자유도에 의해 결정

 

 

 

통계적 추론 구조

- 통계량 : 표본의 함수 -> 모수를 추정 

 -> 표본 평균, 표본 비율, 표본 분산 등

- 추정량 : 모수를 추정하는데 사용되는 통계량

- 추정값 : 관측된 데이터를 추정량(통계량)에 대입하여 얻은 값

 

 

 

추정량의 분포

- 추정량은 추출한 표본들에 따라 변화하게 됨

 => 표본 분포 sampling distribution

 * 표본 분포는 추출한 샘플들에 따라 달라짐

 

여론조사의 분포?

- 표본들이 매번 바뀌기 때문에 표본 분포는 다름

 

 

 

 

추정과 검정

- 추정 : 표본으로부터 모집단에 대한 정보인 모수를 추측함.

- 검정 : 모집단과 관련된 주장에 대한 타당성을 표본으로 점검

 -> 표본으로 얻은 증거가 우연인지 아닌지 점검

 

 

추정

- 점추정 : 모수에 대한 하나의 추정값을 구함

- 구간 추정 : 모수에 대한 추정값과 정확도를 구함

  ex. 3% +- 1%

- 모수 theta에 대해 두 통계량 (L, U) : theta의 (1-alpha) x 100% 신뢰구간

 P(L < theta< U) = 1 - alpha

 * Lower bound 하한, Upper bound 상한

 

 

 

 

적합한 추정량

- 불편성, 일치성, 효율성

- 불편향성 : 가능한 모든 통계값의 평균이 모수가 됨

 -> 표본 평균은 모평균의 불편향 추정량

- 일치성 : 표본 크기가 커질수록 추정량의 값과 모수가 더 가까워짐

  -> 표본 평균의 분산은 표본크기가 커지면 0, 표본 평균은 모평균에 근점

- 효율성 : 추정량중 분산이 작은것을 의미

 

 

 

 

바람직한 추정량을 구하는 방법

- 최대가능도 추정법

- 적률 추정법 

- 최소제곱 추정법

 

최대 가능도 추정법

- 미지의 모수를 가지는 모집단의 분포에서 확률 표본을 추출하여 추정량찾음

- 표본의 몯느 정보는 결합확률밀도함수인 가능도 함수에 있으므로 최대 가능도 추정법으로 찾음