통계 - 5.표본분포

그동안 계속 모집단에 대한 분포들을 연습했는데

 

모집단에서 추출한것이 표본이고

 

표본 수가 많으면 정규분포의 형태를 따르는 다나, 표본 평균의 평균/분산 까지는 이해가 되지만

 

 

표분 분산의 평균, 분산부터는 햇갈리기 시작한다 그래서 

 

다시 표본 분포에 대해서 살펴보고자 한다

 

앞서 살펴보니 이 파트에서는

 

확률 표본을 구성하는 확률 변수. 합의 분포와 변수 변환법으로 확률 변수함수의 분포를 본다고 한다.

 

내가아는 용어

* 확률 변수 : 표본 공간을 수로 만들어주는 함수  였엇지..

* 통계량 : 평균, 분산 등.

 

그 다음에는 확률 표본의 통계량인 표본 평균, 표본 분산과 관련된 분포 등에 대해서 다시 보자.

 

 

 

다시 용어정리

- 확률 표본 : 모집단에서 독립적으로 추출한 표본

- 통계량 : 모수 추정에 적합한 확률 표본들의 함수

   ex. 표본 평균, 표본 분산

- 표본 분포 : 통계량의 확률 분포

 ex. 표본 평균의 평균과 분산, 표본 분산의 평균과 분산

- 변수 변환법 : 확률 변수 함수에 대한 확률 밀도 함수를 구하는 방법

- 카이제곱분포 : 포본 분포에 대한 분포

 

 

 

 

 

이산형 변수 변환

- 통계량은 확률 변수의 함수

- 통계량 분포를 구하기 위해선 확률 변수 함수에 대한 분포를 구해야함

 

이산형 변수변환 예시 - 새로운 확률 변수의 확률 분포 구하기

 

 

연속형 확률 변수

- 이산과 달리 점확률이 존재하지 않으므로 누적 확률 분포를 사용하여야 함.

- 새 변수 Y에 대한 확률 밀도를 구해야하므로 미분하면 

 

연속 확률 변수 변환 예제

 

 

합과 평균의 확률분포

- 표본으로 구한 통계량들을 보면 확률 변수의 합 형태가 됨

=> 확률 변수 합의 확률 분포는 변수 변환법을 사용할수도 있지만 적률 생성 함수를 사용할수도 있음.

 

 

적률 생성 함수 성질

 

 

적률 생성함수 예제 1

- X_i ~ B(n_i, p)의 경우 X1 + X2의 확률 분포를 구해보자

 

 

적률 생성함수 예제 2

- Xi ~ Gamma(gamma_i, lambda), X1 + X2 + X3 + X4의 분포를 구해보자

 

 

 

 

 

카이제곱 분포

- 통계적 추론을 위해선 표본 평균과 표본 분산의 확률분포를 알기 위해서 필요한 분포로 카이 제곱, t분포가 있음

- 모분산 추정, 적합도 검정, 교차표 검정에 이용

- 감마 분포의 특수한 경우로 Gamma(r, lambda)에서 r = n/2, lambda = 1/2임

 => 확률 변수 X는 자유도 n인 카이제곱 분포를 따르게 됨.

*  원랜 비대칭적이나 자유도가 커질수록 대칭적으로 됨.

카이제곱 분포의 기댓값, 분산, 적률 생성함수

 

카이제곱 분포의 특성

- 정규 분포를 따르는 확률변수 Xi를 표준화 하고 제곱하면 자유도가 1인 카이제곱 분포를 따르게 된다.

- 확률 변수가 (n-1) 표본분산/분산인 경우, 자유도가 n-1인 카이제곱 분포를 따른다.