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5.5 선형 상태공간 모델

 이번 장에서는 트림 조건에서의 식 (5.1)-(5.12)를 선형화 한 것으로 종방향과 횡방향에 대한 상태공간 모델을 구해보겠습니다. 5.5.1에서 일반적인 선형화 기술들을 살펴보고, 5.5.2에선 횡방향에 대한 상태 공간 방정식, 5.5.3에선 종방향에대한 상태공간 방정식을 살펴보겠습니다. 마지막으로 5.6에서 short-period mode, phugoid mode, dutch-roll mode, spiral-divergence 모드 등 차수 감수 모드 reduced-order mode를 살펴보겠습니다.

 

5.5.1 선형화

 다음과 같은 비선형 방정식이 주어 질 때 x Rn는 상태이며,

 

 

 u Rm 제어 벡터가 됩니다. 식 5.3에서 설명한 방법으로 트림 입력 u과 상태 x은 다음의 관계를 가집니다.

 

 

ˉx = x - x로 한다면, 아래의 식을 구할 수 있습니다.

 

 트림 상태에 대한 1차 테일러 급수 확장을 하면 다음과 같이 정리하게 됩니다.

 

동역학 선형화는 트림조건에 대한 ϑfϑx,  ϑfϑu를 찾으면 결정할 수 있습니다.

 

5.5.2 횡방향 상태공간 방정식

 횡방향 상태 공간 방정식을 구하려면 상태들은 다음과 같이 주어집니다.

 

입력 벡터는 다음과 같이 정의됩니다.

방정식 (5.5), (5.10), (5.12), (5.7) 그리고 (5.9)를 xlatulat을 이용하여 정리하면 아래와 같습니다.

 

바람이 없는 상태라면

식 (5.38) ~ (5.42)의 자코비안을 구하면 아래와 같습니다.

 

 

 이 미분들을 구해서, 선형화된 상태 공간을 구할 수 있게 됩니다.

 

이 상태 공간에 대한 계수는 아래의 테이블 5.1이 됩니다.

 

표 5.1 횡방향 상태공간 계수

횡방향 공식
Yv
Yp
Yr
Yδa
Yδr
Lv
Lp
Lr
Lδa
Lδr
Nv
Np
Nr
Nδa
Nδr

횡방향에 대한 상태공간 식은 ˉv 대신 ˉβ에 대해서 정리할 수 있는데, 식 (2.7)을

 

β = β을 대입하여

 

다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

ˉv 대신 ˉβ로 구한 상태 공간 방정식을 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

5.5.3 종방향 상태공간 방정식

 종방향 상태공간 방정식에서 상태 값들은 아래와 같고,

 

입력 벡터는 다음과 같이 정의 됩니다.

 

 

식 (5.4), (5.6), (5.11), (5.8), (5.3)을 xlon, ulon의 요소로 구하면 다음과 같이 정리 할수있습니다.

 

 횡방향 상태(ϕ = p = r = β = v = 0)들과 바람 속도가 0이라고 가정한다면, 

 

 

식 (2.7)로부터 아래와 같이 구할 수 있습니다.

 

 

 

 

식 (5.45)-(5.49)의 자코비안을 구하면

여기서

 

v =0 인 경우 식 (2.8)을 이용해서 미분 계수를 계산하고 선형화된 상태 공간을 아래와 같이 구할 수 있습니다.

 

위 식에 대한 계수들은 표 5.2에서 제공하겠습니다.

 

종방향 상태공간 식은 ˉw 대신 ˉα에 대해서 구할수 있는데, 식 (2.7)로

 

 

β = 0이라고 할때, α = α에 대해서 선형화하면 다음 식을 구할 수 있습니다.

 

 

이를 정리하면

 

 

표 5.2 종방향 상태 공간 모델 계수

종방향 공식
Xu
Xw
Xq
Xδe
Xδt
Zu
Zw
Zq
Zδe
Mu
Mw
Mq
Mδe

 

ˉw 대신 ˉα에 대한 상태공간 방정식을 구할 수 있습니다.

 

 

5.6 차수 감소 모드

 비행 동역학 제어에서는 여러가지 개루프 비행 동역학 모드들을 정의하게 됩니다. 이 모드들로 short-period mode와 phugoid mode, rolling mode, spiral-divergence mode, dutch-roll mode 등이 있습니다. 이번 장에서는 각 모드에 대해 간단하게 설명하고, 어떻게 이 모드와 관련된 고유 값들을 근사시킬지 살펴보겠습니다.

 

Short-period mode

 만약 고도와 추력 입력이 상수값이라면, 식 (5.51)의 종방향 상태공간 모델을 아래처럼 간단하게 구할 수 있습니다.

 

 우리가 상태 행렬의 고유값을 구한다면 빠르게 감쇄되는 모드와 느리게 감쇄되는 모드를 찾을수 있는데, 빠른 모드를 short period 모드라 하고, 느리게 감쇄되는 모드를 phugoid mode라 부릅니다.

 

 short-period 모드에서 u를 상수라고 보면 식 (5.52)의 상태공간 식을 ˉq = ˙ˉθ로 대치하여 다음과 같이 정리할 수 있고,

 

 

이 식을 라플라스 변환을 적용하면 

 

 

 

이를 정리하면

 

 

 

 

레벨 비행 level flight (theta = 0)에서 선형화를 하면 특성 방정식은

 

 

short-period 모드의 극점은 다음과 같이 추정하여 구할 수 있습니다.

 

 

 

Phugoid mode

 α가 상수라고 가정하고, α = α이면 식 (5.52)는 다음과 같이 됩니다.

 

 

이를 라플라스 변환을 적용하면

 

 

 

다시 θ = 0으로 가정하면 다음의 특성 방정식을 얻을수 있꼬

 

 

 

phugoid mode의 극점은 다음과 같이 추정하여 구할수있다.

 

 

Roll mode

 해딩에 대한 동역학을 무시하고, 상수 피치각으로 가정하면 식 (5.44)는 다음과 같다.

 

 

ˉp에 대한 동역학 식을 식 (5.53)으로 구할수 있으며

 

 

롤 모드를 ˉβ = ˉr = ¯δr = 0일때 구할수 있습니다.

 

전달함수는 다음과 같습니다.

 

 

롤 모드의 고유값을 추정은 아래와 같이 나타납니다..

 

 

Spiral-divergence mode

 spiral-divergence 모드는 ˙ˉp = ˉp = 0이고 러더 입력을 무시할수 있다고 가정할때로 식 (5.53)에서 2,3차식으로부터 구할 수 있습니다.

 

 

 식 (5.54)를 ˉβ에 대해서 풀고, 식 (5.55)에 대입하면

 

 

주파수 영역에서 다음과 같이 정리됩니다.

 

 

이로부터 spiral mode의 극점을 구하면

 

 

이 극점은 보통 복소 평면의 우측에 위치하여 불안정한 모드가 됩니다.

 

 

 

Dutch-roll mode

 더치 롤 모드에서는 롤링 동작을 무시하고, 사이드 슬립과 요에 집중해야 합니다. 식 (5.53)으로

 

이에 대한 특성 방정식은

 

더치 롤 모드의 극점은 

 

 

 

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