소형 무인 비행체 5 - 선형 모델 설계 2

 

 

5.5 선형 상태공간 모델

 이번 장에서는 트림 조건에서의 식 (5.1)-(5.12)를 선형화 한 것으로 종방향과 횡방향에 대한 상태공간 모델을 구해보겠습니다. 5.5.1에서 일반적인 선형화 기술들을 살펴보고, 5.5.2에선 횡방향에 대한 상태 공간 방정식, 5.5.3에선 종방향에대한 상태공간 방정식을 살펴보겠습니다. 마지막으로 5.6에서 short-period mode, phugoid mode, dutch-roll mode, spiral-divergence 모드 등 차수 감수 모드 reduced-order mode를 살펴보겠습니다.

 

5.5.1 선형화

 다음과 같은 비선형 방정식이 주어 질 때 x $\in$ $\mathbb{R}^n$는 상태이며,

 

 

 u $\in$ $\mathbb{R}^m$ 제어 벡터가 됩니다. 식 5.3에서 설명한 방법으로 트림 입력 $u^{*}$과 상태 $x^*$은 다음의 관계를 가집니다.

 

 

$\bar{x}$ = x - $x^*$로 한다면, 아래의 식을 구할 수 있습니다.

 

 트림 상태에 대한 1차 테일러 급수 확장을 하면 다음과 같이 정리하게 됩니다.

 

동역학 선형화는 트림조건에 대한 $\frac{\vartheta f} {\vartheta x}$,  $\frac{\vartheta f} {\vartheta u}$를 찾으면 결정할 수 있습니다.

 

5.5.2 횡방향 상태공간 방정식

 횡방향 상태 공간 방정식을 구하려면 상태들은 다음과 같이 주어집니다.

 

입력 벡터는 다음과 같이 정의됩니다.

방정식 (5.5), (5.10), (5.12), (5.7) 그리고 (5.9)를 $x_lat$와 $u_lat$을 이용하여 정리하면 아래와 같습니다.

 

바람이 없는 상태라면

식 (5.38) ~ (5.42)의 자코비안을 구하면 아래와 같습니다.

 

 

 이 미분들을 구해서, 선형화된 상태 공간을 구할 수 있게 됩니다.

 

이 상태 공간에 대한 계수는 아래의 테이블 5.1이 됩니다.

 

표 5.1 횡방향 상태공간 계수

횡방향	공식
$Y_v$
$Y_p$
$Y_r$
$Y_{\delta_a}$
$Y_{\delta_r}$
$L_v$
$L_p$
$L_r$
$L_{\delta_a}$
$L_{\delta_r}$
$N_v$
$N_p$
$N_r$
$N_{\delta_a}$
$N_{\delta_r}$

횡방향에 대한 상태공간 식은 $\bar{v}$ 대신 $\bar{\beta}$에 대해서 정리할 수 있는데, 식 (2.7)을

 

$\beta$ = $\beta ^*$을 대입하여

 

다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

$\bar{v}$ 대신 $\bar{\beta}$로 구한 상태 공간 방정식을 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

5.5.3 종방향 상태공간 방정식

 종방향 상태공간 방정식에서 상태 값들은 아래와 같고,

 

입력 벡터는 다음과 같이 정의 됩니다.

 

 

식 (5.4), (5.6), (5.11), (5.8), (5.3)을 $x_lon$, $u_lon$의 요소로 구하면 다음과 같이 정리 할수있습니다.

 

 횡방향 상태($\phi$ = p = r = $\beta$ = v = 0)들과 바람 속도가 0이라고 가정한다면, 

 

 

식 (2.7)로부터 아래와 같이 구할 수 있습니다.

 

 

 

 

식 (5.45)-(5.49)의 자코비안을 구하면

여기서

 

v =0 인 경우 식 (2.8)을 이용해서 미분 계수를 계산하고 선형화된 상태 공간을 아래와 같이 구할 수 있습니다.

 

위 식에 대한 계수들은 표 5.2에서 제공하겠습니다.

 

종방향 상태공간 식은 $\bar{w}$ 대신 $\bar{\alpha}$에 대해서 구할수 있는데, 식 (2.7)로

 

 

$\beta$ = 0이라고 할때, $\alpha$ = $\alpha^*$에 대해서 선형화하면 다음 식을 구할 수 있습니다.

 

 

이를 정리하면

 

 

표 5.2 종방향 상태 공간 모델 계수

종방향	공식
$X_u$
$X_w$
$X_q$
$X_{\delta_e}$
$X_{\delta_t}$
$Z_u$
$Z_w$
$Z_q$
$Z_{\delta_e}$
$M_u$
$M_w$
$M_q$
$M_{\delta_e}$

 

$\bar{w}$ 대신 $\bar{\alpha}$에 대한 상태공간 방정식을 구할 수 있습니다.

 

 

5.6 차수 감소 모드

 비행 동역학 제어에서는 여러가지 개루프 비행 동역학 모드들을 정의하게 됩니다. 이 모드들로 short-period mode와 phugoid mode, rolling mode, spiral-divergence mode, dutch-roll mode 등이 있습니다. 이번 장에서는 각 모드에 대해 간단하게 설명하고, 어떻게 이 모드와 관련된 고유 값들을 근사시킬지 살펴보겠습니다.

 

Short-period mode

 만약 고도와 추력 입력이 상수값이라면, 식 (5.51)의 종방향 상태공간 모델을 아래처럼 간단하게 구할 수 있습니다.

 

 우리가 상태 행렬의 고유값을 구한다면 빠르게 감쇄되는 모드와 느리게 감쇄되는 모드를 찾을수 있는데, 빠른 모드를 short period 모드라 하고, 느리게 감쇄되는 모드를 phugoid mode라 부릅니다.

 

 short-period 모드에서 u를 상수라고 보면 식 (5.52)의 상태공간 식을 $\bar{q}$ = $\dot{\bar{\theta}}$로 대치하여 다음과 같이 정리할 수 있고,

 

 

이 식을 라플라스 변환을 적용하면 

 

 

 

이를 정리하면

 

 

 

 

레벨 비행 level flight ($theta^*$ = 0)에서 선형화를 하면 특성 방정식은

 

 

short-period 모드의 극점은 다음과 같이 추정하여 구할 수 있습니다.

 

 

 

Phugoid mode

 $\alpha$가 상수라고 가정하고, $\alpha$ = $\alpha^*$이면 식 (5.52)는 다음과 같이 됩니다.

 

 

이를 라플라스 변환을 적용하면

 

 

 

다시 $\theta^*$ = 0으로 가정하면 다음의 특성 방정식을 얻을수 있꼬

 

 

 

phugoid mode의 극점은 다음과 같이 추정하여 구할수있다.

 

 

Roll mode

 해딩에 대한 동역학을 무시하고, 상수 피치각으로 가정하면 식 (5.44)는 다음과 같다.

 

 

$\bar{p}$에 대한 동역학 식을 식 (5.53)으로 구할수 있으며

 

 

롤 모드를 $\bar{\beta}$ = $\bar{r}$ = $\bar{\delta_r}$ = 0일때 구할수 있습니다.

 

전달함수는 다음과 같습니다.

 

 

롤 모드의 고유값을 추정은 아래와 같이 나타납니다..

 

 

Spiral-divergence mode

 spiral-divergence 모드는 $\dot{\bar{p}}$ = $\bar{p}$ = 0이고 러더 입력을 무시할수 있다고 가정할때로 식 (5.53)에서 2,3차식으로부터 구할 수 있습니다.

 

 

 식 (5.54)를 $\bar{\beta}$에 대해서 풀고, 식 (5.55)에 대입하면

 

 

주파수 영역에서 다음과 같이 정리됩니다.

 

 

이로부터 spiral mode의 극점을 구하면

 

 

이 극점은 보통 복소 평면의 우측에 위치하여 불안정한 모드가 됩니다.

 

 

 

Dutch-roll mode

 더치 롤 모드에서는 롤링 동작을 무시하고, 사이드 슬립과 요에 집중해야 합니다. 식 (5.53)으로

 

이에 대한 특성 방정식은

 

더치 롤 모드의 극점은