3,4장에서 살펴봤지만 비행체의 운동 방정식은 12개의 비선형, 1차, 동조된, 상미분 방정식의 형태로 복잡하게 되어있습니다. 이런 복잡함 때문에 제어기를 설계하기가 어려우므로 더 직관적인 방법이 필요합니다. 이번 장에서는 운동방정식을 제어기 설계에 더 적합하도록 저차수 reduced-order 전달 함수와 상태 공간 모델로 선형화하겠습니다.
저수준 오토파일럿 폐루프는 이런 선형 모델을 기반으로 하며, 특정한 상태의 동역학적 특성을 추정하는데 사용합니다. 이번 장의 목표는 6장에서 사용할 선형 모델을 설계하겠습니다.
고정익 비행체의 동역학적 특성은 대기 속도, 피치각, 고도로 이루어진 종방향 운동과 롤과 해딩각으로 이루어진 횡방향 동작으로 나누어 볼수 있습니다. 종방향과 횡방향은 같이 동조되기는 하지만 요란을 줄이는 제어 알고리즘으로 영향들을 완화할수 있습니다. 이번 장에서는 기존의 방식을 살펴보고 횡방향과 종방향 운동으로 나눠서 살펴보겠습니다.
이번 장에서 설명하는 많은 선형 모델들은 평형 상태 equilibrium condition로 가정합니다. 비행 통역학에서 힘과 모멘트 평형을 트림 trim이라고 하며 5.3장에서 살펴보겠습니다. 횡방향과 종방향 동역학 식을 5.4장에서 구해보고 상태 공간 모델을 5.5장에서 살펴보겠습니다.
5.1 비선형 운동방정식 요약
항공역학적 힘과 모멘트는 선형화 범위나 커플링 정도에 따라 다양한 모델들이 존재 할 수 있습니다. 이번 장에서는 6 자유도와 선형에 가까운 quasi-linear, 12 상태 운동방정식, 추진 모델 등 정리하겠습니다.양력과 항력 계수가 받음각에 대해 비선형이고, 프로펠러 추진 또한 스로틀 입력에 대해 비선형이므로 선형으로 나타내어야 합니다. 양력과 항력에 대해 주로 사용하는 선형 모델을 구할 것이고 4장에서 구한 모델들을 다음과 같이 정리 할수 있습니다.
h = $-P_d$는 고도이고, $\gamma$는 식 (3.13)에서 정의한 관성 파라미터가 됩니다.
4장에서 본 x, z 방향 항공역학적 힘계수는 받음각의 비선형 함수로 정리하면 아래와 같습니다.
항력에 대해서는 양력의 비선형 함수로 설계하는 것이 일반적입니다. 여기서 e는 오즈왈드 값이고, AR은 날개의 종횡비가 됩니다.
저 받음각 비행 상태 설계를 한다면, 양력과 항력 계수에 대한 선형 모델을 사용할수 있습니다.
이번 장에서는 스로틀과 비행 제어면(에일러론, 엘리베이터, 러더)를 입력으로 하는 동역학적 특성을 정리 할 것이고, 이 방정식은 각 장의 실습에서 핵심 요소로 사용됩니다.
이 방정식을 대체하는 방법으로 쿼터니온을 사용할 수도 있습니다. 쿼터니언 기반 방정식은 짐벌락 문제를 해결하였으며 오일러 각 기반 방정식보다 효율적으로 계싼하는 장점을 가지고 있습니다. 그래서 고정밀 시뮬레이션에서 쿼터니언을 이용한 형태의 운동방정식을 사용하기도 합니다.
쿼터니언 표현 방법은 물리적으로 이해하기는 힘들어 오일러각 표현방식이 이번 장의 선형 모델 개발시에 주로 사용할 것입니다. 짐벌락 문제를 제거하는 방법은 차후에 다루겠습니다.
5.2 정상 선회 Coordinate Turn
식 (5.9)의 방정식을 보면, 해딩 변화율은 피치/요/롤 변화율과 관련되어 있습니다. 각각의 상태는 상미분 방정식 형태로 다루어 지는데 물리적으로 롤이나 비행체의 경사 각에 따라 해딩 변화율을 알수 있을 것이고 이 단순한 관계로 선형 전달함수를 개발할 것입니다.
정산 선회 상태가 이러한 관계를 알려주는데, 이 상태에서 승객들은 편안함을 느낄수 있습니다. 정상 서회를 하는 동안 측면으로 작용하는 가속이 존재하지 않게 되는데 비행체는 측면으로 미끄러지기 보다는 꺽이면서 비행하게 됩니다. 해석학적 관점에서 보면 정상 선회를 이용해서 해딩각 변화율과 경사각 사이 관계를 단순화 시킬수 있습니다.
이 정상 선회 동안 경사각 $\phi$는 비행체 옆면으로 순 힘이 존재하지 않게 되는데 이 때 자유 물체도를 5.1에서 볼수 있으며, 비행체에 작용하는 원심력은 양력의 수평 요소와 같은 크기로 반대 방향으로 작용하게 됩니다. 수평 방향의 힘을 합하면 다음과 같습니다.
위 식에서 $F_list$는 양력, $\gamma$는 비행 경로각 flight path angle, $V_g$는 대지 속도 ground speed, $\chi$는 방위 각 course angle이 됩니다.
원심력은 관성 좌표계 $k^i$ 축에 대한 방위각 변화율 $\dot_{\chi}$과 대기 속도의 수평 요소인 $V_a$cos $\gamma$를 이용해서 구할 수 있습니다. 비슷하게 양력의 수직 요소는 $i^b$-$k^b$ 평면에 대한 중력의 사영과 반대 방향으로 동일하게 작용하는데 이는 그림 5.1과 같습니다. 수직 힘 요소들을 합하면 다음과 같이 정리 할 수 있습니다.
식 (5.13)을 식 (5.14)를 나누고 방위각 변화율 $\dot_{\chi}$에 대해 풀어낸 식은 정상 선회 방정식이 됩니다.
선회 반지름 turning radius 는 R= $V_g$ cos $\gamma$ / $\dot_{\chi}$로 구할수 있으며, 다음의 식을 얻을 수 있습니다.
바람이나 사이드 슬립이 없는 경우 $V_a$ = $V_g$이며 $\psi$ = $\chi$이므로 정상 선회에 대해 다음의 표현 식을 구할 수 있습니다.
이러한 정상 선회 표현들은 비행체의 선회 동역학 표현을 단순화 하는데 사용할 수 있으며, 9.2장에서 더 다루어 보겠습니다.
5.3 트림 조건 trim conditions
미분 방정식을 나타내는 다음의 비선형 시스템이 주어진다면, f: $\mathbb{R}^n$ $x$ $\mathbb{R}^m$ -> $\mathbb{R}^n$, $x$는 시스템 상태, u가 입력
이 시스템은 상태 $x^*$와 입력 $u^*$에 대해 평형이라고 할 수 있습니다.
비행체가 상수의 고도와 정상 비행 steady flight 중일때 이 상태 값들은 평형 상태에 있습니다. 고도 h=-$p_d$, 동체 좌표계 속도 u, v, w, 오일러각 $\phi$, $\theta$, $\psi$, 그리고 각 속도 p,q,r은 모두 상수 값이 됩니다.
이러한 평형 상태에 있는 비행체를 트림에 있다고 말 할 수 있습니다. 트림 조건은 상태가 상수가 아닌 경우도 포함합니다. 예를 들자면 정상 상승 steady climb 시, $\dot_{h}$는 상수가 되고 h는 선형 적으로 상승하게 됩니다. 역시 선회 각 변화율 $\dot_{\psi}$는 상수이면, $\psi$는 선형적으로 증가하게 됩니다. 더 일반적으로 트림 조건을 나타내자면 다음과 같이 정리 할 수 있겠습니다.
트림 계산 수행 과정에서 바람을 알수없는 요란으로 다루어야 하는데, 비행체에 작용하는 여향을 알 수 없으므로 바람 속도를 0으로 치고 트림을 찾을 것인데 이때 $V_a$ = $V_g$, $\psi$ = $\chi$, $\gamma$ = $\gamma_{a}$가 됩니다.
비행체가 다음 새가지 조건을 만족할 때 트림 상태와 입력값들을 계산하는것이 목표 입니다.
- 상수 속도 $V_a^*$로 비행 중인 상태
- 상수 비행 경로각 $\gamma^*$으로 상승 중인 상태
- 상수 반지름 궤적 $R^*$을 가질때
이 새 파라미터 $V_a^*$, $gamma^*$, $R^*$는 트림 계산에서 입력이 되며, $R^*$ >= $R_{min}$으로 가정한다면, $R_{min}$은 최소 선회 반지름이 됩니다.
일반적인 경우 필요한 트림 값으로, 윙 래밸과 상수 고도값으로 이 경우 $\gamma^*$ = 0, $R^*$ = $\infty$가 됩니다. 다른 흔한 경우로 상수 고도와 반지름으로 이 경우 $\gamma^*$ = 0이 됩니다.
일반적인 고정익 비행체의 상태들은 다음과 같이 나타내며
입력 값들은 아래와 같이 주어집니다.
f(x,u)은 방정식 (5.1)-(5.12)의 우항들로 정의할 수 있습니다. 그러나 식의 우항들은 위치 $p_n$, $p_e$, $p_d$에 대해 독립이므로, 트림 비행은 위치에 대해 독립이 됩니다. 그리고 $\dot{p_n}$, $\dot{p_e}$는 $\psi$에 의존하므로 트림 비행은 해딩각 $\psi$에 독립적이게 됩니다.
상수 상승 궤도에서 비행체의 속도가 변하지 않을 때 $\dot_{u^*}$ = $\dot_{v^*}$ = $\dot_{w^*}$=0가 됩니다.비슷하게 롤과 피치 각이 일정하면, $\dot_{\phi^*}$= $\dot_{\theta^*}$= $\dot_{p^*}$ = $\dot_{q^*}$ = 0이 됩니다. 선회 속도가 상수인 경우에는 다음과 같이 정리 할 수 있습니다.
상승 속도가 일정하다면 이 식을 다음과 같이 정리 할 수 있습니다.
$V_a^*$, $\gamma^*$, $R^*$ 파라미터가 주어지면 $\dot{x^*}$는 아래와 같이 정의 됩니다.
$x^*$와 $u^*$를 찾는 문제($\dot{p_n^*}$, $\dot{p_e^*}$, $h^*$, $\psi^*$ 제외한)로 비선형 시스템의 방정식을 풀수 있씁니다. 이러한 시스템 방정식을 풀기 위해 다양한 수치 기법들이 있지만 시뮬링크의 trim 명령어로 사용할수 있습니다.
5.4 전달함수 모델 Transfer Function Models
횡방향에 대한 전달함수 모델을 5.4.1에서 구할 것인데, 이는 비행체의 수평 방향의 동작을 나타냅니다. 종방향 동역학에 대한 전달함수 모델은 비행체의 수직 방향 동작을 나타내며 5.4.2에서 구하겠습니다.
5.4.1 횡방향 전달함수 lateral transfer functions
횡방향 동역학에서 관심 변수로 롤 각 $\phi$, 롤 속도 p, 해딩 각 $\psi$, 요 속도 r 이 있습니다. 횡방향 동역학에 영향을 주는 제어면으로 에일러론 $\delta_a$와 러더 $\delta_r$이 있습니다. 러더는 롤 속도 p에 주로 영향주며, 러더는 요 $\psi$를 제어하는대 주로 사용합니다.
롤 각 roll angle
에일러론 $\delta_a$로부터 롤 각 $\phi$에 대한 전달 함수를 구하기 위해 식 (5.7)을 다시 봅시다.
대부분 비행 상태에서, $\theta$는 작고, $\dot{phi}$에 영향 주는 것은 롤 속도 p가 되므로 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
이 요란은 (5.22)의 미분 방정식을 나타내며,
식 (5.10)을 이용하여 다음과 같이 정리 할 수 있는데, $\delta_{phi_2}$는 시스템의 요란을 의미합니다.
라플라스 영역 으로 정리하면 아래의 식을 구할 수 있습니다.
이 블록다이어 그램은 그림 5.2에서 보여주며 입력은 에일러론 $\delta_a$, 요란은 $d_{\phi_2}$가 됩니다.
방위각 course and heading
롤 각으로 방위 각 $\chi$도 구할수 있는데, 바람이 없는 정상선회 상태라면 아래의 식이 되며
이 식을 아래와 같이 정리 할 수 있습니다.
라플라스 영역에서 나타내면 다음과 같습니다.
이는 그림 5.3에서 보여주는것 처럼 에일러론으로 횡방향 역학을 제어하는 블록 다이어 그램을 구할 수 있씁니다. 전달함수로 구하기 위해 대기 속도 $V_g$가 필요하며, 바람이 없고, $V_g$를 대기 속도로 사용하여 구할 수 있습니다.
6장에서 비행 결로 제어를 위한 제어기 설계를 할것이며, 경로 각은 gps로 측정 할수도 있지만 식 (5.27)과 같이 경로각 $\chi$에 대한 전달 함수를 구할 수 있씁니다. 이 전달함수는 아래와 같습니다.
사이드 슬립 sideslip
측면 역학의 두번째요소로 러더 입력에 대한 요 동작인데, 바람이 없는 경우 v = $V_a$ sin $\beta$가 되며, 대기 속도가 일정하면 $\dot{v}$ = ($V_a$ sin $\beta$) $\dot{\beta}$가 됩니다. 그러므로 식 (5.5)로 아래와 같이 정리 할 수 있습니다.
$\beta$가 충분히 작으면 cos $\beta$ $\approx$ 1 이며 아래와 같이 됩니다.
이를 라플라스 영역에서 구하면 다음과 같습니다.
이 전달함수는 그림 5.4에서 블록 다이어그램으로 나타내게 됩니다.
종방향 전달함수 longitudinal transfer function
이번 장에서는 종방향 역학에 대한 전달함수를 구할 건데, 관심 변수로 피치각 $\phi$, 피치 변화율 q, 고도 = -$p_d$, 대기 속도 $V_a$가 있습니다. 종방향 역학에 영향을 주는 제어 신호로 엘리베이터 $\delta_e$, $\delta_t$가 있습니다.
엘리베이터는 피치각 $\phi$에 직접 영향을 주며 아래에서 보겠지만 피치각은 고도 h와 대기속도 $V_a$를 제어하는데 사용될 수 있씁니다. 대기 속도는 고도를 제어하는데 사용되며, 스로틀은 대기 속도에 영향을 줍니다.
이번 장에서 구한 전달함수로 6장에서 고도 제어기를 설계하는대 사용될것입니다.
피치각 pitch angle
엘리베이터 $\delta_e$와 피치각 $\theta$ 사이 관계를 단순화해서 구하면 식 (5.9)로 아래의 식을 얻을 수 있습니다. 이때 $d_{\theta_1}$ = q (cos $\phi$ - 1) - r sin $\phi$이고, $d_{\theta_1}$은 충분히 작습니다.
이를 미분하면 다음과 같고,
식 (5.11)과 $\gamma_r$ = $\gamma$ 가 비행 경로 각일 때, $\theta$ = $\alpha$ + $\gamma_a$ = $\gamma$인 관계를 이용하면 아래의 식을 얻을 수 있습니다.
피치각에 대한 선형 모델을 구하고 라플라스 변환을 하면 다음의 식을 가지게 됩니다.
이때는 직선 비행으로 r = p = $phi$ = $\gamma$ = 0 이며, 비행체가 $C_{m_0}$ 이되도록 설계합니다. 그러면 $d_{\theta_2}$ = 0이 됩니다. $\dot{\theta}$ = q + $d_{\theta_1}$을 이용하여 그림 5.5의 블록다이어그램을 얻을 수 있는데, 피치 변화율 q를 자이로로 부터 궤한 받을수 있어 쓰기 좋습니다.
고도 Altitude
대기 속도가 일정한 경우, 피치각은 상승 변화율에 직접적으로 영향을 주므로 피치 앵글로부터 고도에 대한 전달함수를 구할 수 있습니다. 식 (5.3)으로 아래의 식을 구할 수 있습니다.
v $\approx$ 0, w $\approx$ 0, u $\approx$ $V_a$, $\phi$ $\approx$ 0, $\theta$가 작을때, 비행체는 직진 비행을 하며 $d_h$는 0이 됩니다.
$V_a$가 일정하고, 피치각 $\theta$가 입력될때에 대해 라플라스 영역에서 나타내면 아래와 같고,
엘리베이터로부터 고도를 구하는 종방향 운동방정식의 블록 다이어그램은 그림 5.6과 같습니다. 대신 피치각이 일정하고, 대기 속도가 빨라진다면, 날개의 양력을 증가시켜 고도를 변화 시킬 수 있습니다.
이 대기속도로부터 고도에 대한 전달함수를 구하기 위해 피치각 $\theta$를 고정시키고, $V_a$를 입력으로 한다면 다음의 식을 얻을 수 있습니다.
고도 제어기는 6장에서 다룰예정이며 피치각과 대기 속도를 이용해서 고도를 제어합니다. 대기속도는 스로틀과 피치각으로 조절하게 됩니다. 예를들자면 피치각이 고정되어있고 스로틀로 추력을 증가시키면, 비행체의 대기속도는 증가하게 됩니다. 그러나 스로틀이 고정되고 비행기 머리를 아래로 내리도록 피칭 하면 양력이 감소하여 중력에 의한 가속 영향을 받게 만들어 비행체의 대기속도가 증가하게 됩니다.
대기속도 Airspeed
종방향 모델을 완성시키려면, 스로틀과 피치각으로부터 대기속도에 대한 전달함수를 구해야 합니다. 그러기 위해 우선 바람 속도를 0으로 가정하여 $V_a$ = $\sqrt{u^2 + v^2 + w^2}$로 다음의 식을 구할수 있고
식 (2.7)을 이용하면 아래의 식이 됩니다.
$\beta$ = 0이면, $d_{v1}$ = 0이고 식 (5.4)와 (5.6)을 식 (5.33)에 대입하면 아래의 식을 얻을수 있습니다.
식 (2.7)과 선형 추정 $C_D$($\alpha$) $\approx$ $C_{D_0}$ + $C_{D_{\alpha}}$ $\alpha$을 이용해서 단순화 시키면 다음의 식을 얻을 수 있습니다.
이 때 $d_{v_2}$ $\approx$ 0이 됩니다.
대기속도 $V_a$를 다룰때 관심 입력값으로 스로틀 세팅 $\delta_t$와 피치각 $\theta$가 있습니다. 식 (5.34)는 $V_a$와 $\delta_t$
에 대해 비선형이므로, 원하는 전달함수를 구하기 전에 1차 선형화를 해야 합니다. 5.5.1장의 개요를 따라가보면 식 (5.34)을 트림 상태 대기속도와 $V_a$의 편차인 $\bar{V_a}$ = ${V_a}$ - ${V_a^*}$ 로 바꾸고, 트림 상태의 피치각과 $\theta$의 편차인 $\bar{\theta}$ = $\theta$ - $\theta^*$, 그리고 트림 떄의 스로틀 편차인 $\bar{\delta_t}$ = $\delta_t$ - $\delta_t^*$로 바꾸어서 선형화 할 수 있습니다.
식 (5.34)는 윙 레벨과 상수 고도($\gamma^*$ = 0) 트림 조건에 따라 선형화 하면 다음과 같이 구할 수 있습니다
$d_v$와 $d_{v_{2}}$는 선형화 오차이며, 라플라스 영역에서 아래의 식을 구할수 있습니다.
이에 대한 블록다이어그램은 그림 5.7에서 보여줍니다.
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