소형 무인 비행체 4 - 힘과 모멘트 2

4.2.4 항공역학적 계수

 

 항공역학적 계수인 $C_{m_{\alpha}}$, $C_{l_{\beta}}$, $C_{n_{\beta}}$, $C_{m_{q}}$, $C_{l_{p}}$, $C_{n_{r}}$은 안정성 미분계수로 이 값들이 비행체의 정적, 동적 안정성을 결정하게 된다.

 

 정적 안정성 static stability는 일반 비행 상태서 항공역학적인 모멘트를 다루는데, 모멘트가 기존 상태로 돌아가려 한다면 정적으로 안정한 것이 된다. 대부분의 비행체는 정적으로 안정하도록 설계 된다.

 

$C_{m_{\alpha}}$, $C_{l_{\beta}}$, $C_{n_{\beta}}$는 비행체의 정적 안정성을 결정하며 대기 속도 벡터의 방향 변화에 대한 모멘트 계수 변화량을 의미한다.

 

 

 

 $C_{m_{\alpha}}$은 종방향 정적 안정성 미분 계수로 비행체가 안정하다면 $C_{m_{\alpha}}$는0보다작게된다. 이 경우 비행체가 상승시 받음각이 증가하게 되는데, 비행체가 아래를 향하도록하여 받음각을 안정한 상태로 유지시키게 합니다.

 

 $C_{l_{\beta}}$는 롤 정적 안정성 계수로 날개의 상반각 dihedral과 관련이 있습니다. 롤에서의 정적 안정성을 나타내는 $C_{l_{\beta}}$는 반드시 음수가 되어야하는데, 사이드 슬립 방향과 반대로 롤 하여 사이드 슬립 각이 0이 되도록 만듭니다.

 

 $C_{n_{\beta}}$는 요 안정성 미분 계수로 풍향계 안정성 계수 weathercock stability derivative라고도 부르는데, 비행체가 요에 대해 안정적이라면, 풍향계처럼 바람이 오는쪽으로 향하게 됩니다. $C_{n_{\beta}}$ 값은 비행체 꼬리의 설계에 따라 크게 영향을 받는데, 꼬리가 크고 질량의 중심으로부터 떨어질수록, $C_{n_{\beta}}$는 커지게됩니다. 비행체가 요에 대해 안정적이라면 이 값은 양수가 됩니다. 이는 양의 사이드 슬립각에 의해 양의 요 모멘트가 발생한 경우 이 안정성 계수는 대기 속도 벡터의 방향으로 비행체를 요시켜 사이드 슬립각을 0으로 만들게 됩니다.

 

 

 동적 안정성은 요란에 대해 비행체의 동적인 반응을 다룹니다. 요란이 비행체에 작용할 때 비행체의 응답이 시간에 따라 감쇄가 된다면 이 비행체는 동적으로 안정적이라고 할 수 있습니다. 비행체를 분석하기 위해 2차 질량-스프링-댐퍼 개념을 사용한다면 안정성 계수인 $C_{m_{\alpha}}$, $C_{l_{\beta}}$, $C_{n_{\beta}}$는 스프링 같은 동작을 하고, $C_{m_{q}}$, $C_{l_{p}}$, $C_{n_{r}}$는 댐퍼 같은 역활을 한다고 볼 수 있습니다.

 

 5장에서 볼것이지만 비행체의 동적 방정식을 선형화 시에 안정성 계수들은 비행체의 동적 특성을 덜 복잡하게 하기 위해 일정한 값을 사용하여야 합니다.

 

 $C_{m_{q}}$는 피치 댐퍼 미분 계수, $C_{l_{p}}$는 롤 댐퍼 미분 계수, $C_{n_{r}}$는 요 댐퍼 미분 계수로 각각의 댐퍼 미분 계수들은 운동 방향과 모멘트가 반대로 발생해서 감쇄해야하므로 일반적으로 음수가 됩니다.

 

 

 

 항공역학적인 계수인  $C_{m_{\delta_{e}}}$, $C_{l_{\delta_{a}}}$, $C_{n_{\delta_{er}}$은 제어면의 접힘 정도와 연관되어 있어 주 제어 미분계수 primary control derivative 라고 부릅니다. 이 값들은 제어면을 접으면서 발생하는 모멘트이므로 주요하게 작용합니다. 예를들어 엘리베이터 접힘 $\delta_e$에 따라 피칭 모멘트 m이 발생하게 됩니다.

 

 $C_{l_{\delta_{r}}}$, $C_{n_{\delta_{a}}}$는 교차 제어 미분 계수로, 제어 면이 접힐때 발생하는 축 밖으로 작용하는 모멘트가 됩니다. 제어 미분 계수를 게인으로 본다면, 제어 계수의 값이 클수록 제어면이 접힘에 따른 모멘트의 크기는 커지게 됩니다.

 

  

4.3 추진력과 추진 모멘트

4.3.1 프로펠러 추력

 

 프로펠러로 발생하는 추력 모델은 베르누이 법칙을 이용하여 프로펠러의 압력차이로 구할 수 있습니다. 베르누이 방정식을 이용해서 프로펠러로 들어오는 총 압력은 다음과 같습니다. $P_0$는 정적 압력이고, $\rho$는 대기 밀도가 됩니다.

 

 

 프로펠러 밖 downstream으로 나가는 압력은 다음과 같이 정의 할 수 있는데 여기서 $V_{exit}$는 프로펠러에서 나가는 대기의 속도가 됩니다.

 

 

 모터의 순간적인 영향은 무시하고, pwm 명령 $\delta_t$와 프로펠러 각속도는 선형 관계를 가지므로 프로펠러에서 다음 속도의 나가는 바람을 발생시킵니다.

 

 만약 $S_prop$가 프로펠러가 맞닫는 넓이라고 한다면, 발생하는 추력은 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

 대다수의 비행체의 추력은 동체 좌표계 $i^b$축에 따라 작용하므로 질량의 중심에 대해 다른 모멘트를 발생시키지는 않습니다.

 

4.3.2 프로펠러 토르크

 프로펠러 회전에 따라 공기가 프로펠러를 지나가면서 추력이 기체에 발생함과 동시에 공기의 모멘텀을 만듭니다. 프로펠러 내부 공기에 의해 같거나 반대방향의 힘들이 작용하게 되는데 이 힘들의 영향이 토르크가 되어 기체가 프로펠러의 축을 따라 회전하도록 만듭니다.

 

 이 모터에 의해 프로펠러에 작용하는 토르크는 같은 방향이나 프로펠러에 의해 모터에 작용하는 토르크는 반대 방향으로 작용하게 됩니다. 프로펠러 회전과 반대 방향인 이 토르크는 프로켈러 각속도의 제곱에 비례하여 다음과 같이 정리 할 수 있습니다.

 

 여기서 $\Omega$ = $k_{\Omega}$ $\delta_t$ 는 프로펠러 속도이며, $k_{T_{p}}$는 실험에 따라 정해지는 상수가 됩니다. 그러므로 이 추진 시스템의 모멘트는 다음과 같습니다.

 

 이 프로펠러 토르크의 영향은 상대적으로 적을수 있으나 이를 고려하지 않으면, 프로펠러 토르크가 프로펠러 회전과 반대 방향으로 느린 롤 모션을 발생시킬수 있습니다. 고치는 간단한 방법은 약간의 에일러론 접힘으로 프로펠러 토르크를 상쇄시키는 롤 모멘트를 만들어 내면 됩니다.