6.3 횡방향 오토파일럿
그림 6.6은 연속 폐루프를 이용한 횡방향 오토파일럿의 블록다이어그램을 보여주는데 여기에 5가지의 게인이 존재합니다. 먼저 미분 게인 $k_{d_{\phi}}$는 가장 안쪽 루프에서 롤 변화율 댐핑을 제공하고, 롤 자세는 비례, 적분 게인인 $k_p_{\phi}$와 $k_{i_{\phi}}$로 제어할 수 있습니다.
방위각은 비례, 적분 게인 $k_{p_{\chi}}$와 $k_{i_{\chi}}$로 제어할 수 있는데, 연속 폐루프의 게인은 내부에서부터 시작하여 외부로 연속적으로 나아가는 점에 따라 우선 $k_{d_{\phi}}$, $k_{p_{\phi}}$를, 두번째로 $i_{\phi}$, 마지막으로 $k_{p_{\chi}}$, $k_{i_{\chi}}$를 선택합니다.
6.3.1 롤 자세 루프 설계
횡방향 오토파일럿에서 내부 루프는 롤각과 롤 변화율을 제어하는데 사용되는데 그림 6.7과 같습니다. 만약 전달함수 계수 $a_{\phi_1}$과 $a_{\phi_2}$를 안다면, 폐루프 응답을 이용하여 제어기 게인 $k_{d_{\phi}}$와 $k_{p_{\phi}}$를 선택하는 방법이 있습니다. 그림 6.7에서 $\phi^c$로부터 $\phi$에 대한 전달함수는 아래와 같이 주어지는데
DC 게인이 1과 같은 점을 고려할때 원하는 응답이 다음의 표준 2차 전달함수 형태로 주어지면
분모의 계수를 같다고 한다면 다음의 식을 얻을수 있습니다.
식 (6.2)을 보면 비례 게인은 롤 오차가 $e_{\phi}^{max}$일때 에일러론이 포화되도록 선택되므로 식 (6.2)로 다음과 같이 정리할 수 있습니다. 이때 $e_{\phi}^{max}$는 설계 파라미터 입니다.
롤 루프의 고유주파수는 그러므로 아래와 같으며
$k_{d_{\phi}}$에 대해 식 (6.6)을 풀면 다음과 같습니다. 여기서 댐핑 비 $\zeta_{\phi}$는 설계 파라미터가 입니다..
롤 적분기
그림 6.7에서 개루프 전달함수는 하나의 시스템으로 영 정상상태 롤 오차는 적분기 없이 수행되야 합니다. 그림 5.2에서는 $\deta_a$ 전에 요란이 합쳐져 들어가는걸 볼수 있었는데, 이 요란은 롤 역학의 선형, 차수 감소 모델을 만드는 과정에서 무시되는 요소였습니다. 그래서 이 시스템에서는 돌풍이나 난기류 같은 물리적인 동요로 사용할 수 있습니다. 그림 6.8은 요란을 추가한 롤 루프로, 여기서 $\phi$(s)를 풀면 다음과 같습니다.
$d_{phi_2}$는 최종값 정리 final value theorem로 구하는 일정한 요란으로 $d_{\phi_2}$ = A/s 이며, $d_{\phi_2}$ 때문에 정상상태 오차는 $\frac{A} {a_{\phi_2} k_{p_{\phi}}}$가 됩니다.
일정한 궤적에서 p, q, r은 일정할 것이며 $d_{\phi}$ 또한 일정한 값이 될건데, 식 (5.25)에서 볼수 있습니다. 그러므로 적분기로 정상상태 오차를 제거하는것이 좋습니다.
그림 6.9는 요란 $d_{\phi_2}$을 제거하기위해 적분기를 추가한 롤 자세 유지 루프가 됩니다.
그림 6.9에서 $\phi$(s)에 대하여 풀면
이 경우 최종값 정리에 따라 상수 $d_{\phi}$에 대한 영정상상태 오차를 예측하게 됩니다. $d_{\phi}$가 램프 입력이라면 정상상태 오차는 $\frac{A} {a_{\phi_2} k_{i_{\phi}}}$가 됩니다. $a_{\phi_1}$과 $a_{\phi_2}$를 안다면 루트 로커스로 $k_{i_{\phi}}$를 쉽게 구할수 있습니다. 폐루프의 극점은
에반스 폼으로 바꾸면
그림 6.10은 $k_{i_{\phi}}$ 함수에 대해 특성 방정식의 루트로커스를 띄운 것으로, 작은 게인 값에 대해 시스템이 안정하게 됩니다. 롤 자세 유지 루프의 출력은 아래와 같습니다.
6.3.2 코스 유지 course hold
횡방향 오토 파일럿 연속 폐루프 설계에서 다음 과정은 바깥 루프인 코스 유지기 설계입니다. $\phi^c$로부터 $\phi$에 대한 내부 루프가 적절하게 조정되면, 주파수 범위가 0에서 $\omega_{n_{\phi}}$까지 $H_{\phi / \phi^c}$ $\aprox$ 1이 됩니다. 이 상태에서 그림 6.6의 블록 다이어그램은 그림 6.11과 같이 바깥 루프 설계 목적으로 블록 다이어그램을 단순화 할 수 있습니다.
코스 유지기 설계에서 목표는 방위 $\chi$가 입력한 방위 $\chi^c$를 점근적으로 추적하도록 $k_{p_{\chi}}$와 $k_{i_{\chi}}$를 선택하여야 합니다. 이 단순화된 블록다이어그램으로 입력 $\chi^c$와 $d_{\chi}$에 대한 출력 $\chi$의 전달함수는 다음과 같습니다.
여기서 $d_{\chi}$, $\chi^c$는 일정한 상수이며, 최종값 정리로 $\chi$ -> $\chi^c$. 입력 $\chi^c$에 대한 출력 $\chi$의 전달함수는
내부 피드백 루프와 함께, 이 피드백 게인 $k_{p_{\chi}}$, $k_{i_{\chi}}$를 계산할수 있는 외부 루프의 고유 주파수와 댐핑비를 골라야 합니다. 그림 6.12는 $H_{\chi}$에 대한 주파수 응답과 스텝 응답을 보여주고 있습니다. 분자의 영점 때문에 $\zeta$를 선택함에 따라 이 전달함수를 바꾸지는 않고, $\zeta$가 클수록 오버슈트가 작아집니다.
식 (6.10), (6.11)에서 계수를 비교해보면
$k_{p_{\chi}}$, $k_{i_{\chi}}$에 대해서 풀면
이 연속 폐루프 설계 과정에서 적절한걸 찾기 위해 내부와 외부 피드백 루프 사이에 다양한 주파수대를 확인해보는게 필요합니다. 적절하게 분리하기 위해 다음 식을 계산하면 됩니다.
여기서 분할자 separation $W_{\chi}$는 5보다 큰 설계 파라미터로 일반적으로 클 수록 좋으나, $\chi$ 루프에서 느린 응답($\omega_{n_{\chi} 보다 작은}$과 $\phi$ 루프에서 빠른 응답($\omega_{n_{\phi}}$보다 큰)의 분할 주파수가 필요하게 됩니다. 빠른 응답을 받으려면 엑추에이터에 더 큰 비용이 필요하며, 엑추에이터의 물리적인 제한으로 가능하지 않을 수 도 있습니다.
코스 유지 루프의 출력은 아래와 같습니다.
6.3.3 사이드 슬립 유지 sideslip hold
비행체는 러더를 장착하고 있는데, 이 러더로 사이드 슬립 각을 0($\beta$ = 0)으로 유지시킬수 있습니다. 이 사이드 슬립 유지 루프는 그림 6.13과 같은데 $\beta^c$로부터 $\beta$에 대한 전달함수는 다음과 같습니다.
여기서 DC 게인은 1일때 폐루프 극점의 분모가 아래와 같으면
계수를 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
사이드 슬립 최대 오차를 $e_{\beta}^{max}$, 가능한 최대 러더 접힘을 $\deta_{r}^{max}$라고 할 때 6.2장 내용을 따르면
원하는 댐핑값인 $\zeta_{\beta}$을 주면, 식 (6.14), (6.15)를 풀수 있는데
사이드 슬립 유지 루프의 출력은 다음과 같이 됩니다.
6.4 종방향 오토파일럿 Longitudinal Autopilot
종방향 오토파일럿은 대기속도가 종방향 동역학에 큰 역활을해서 횡방향 오토파일럿보다 더 복잡합니다. 종방향 오토파일럿 설계에서 목표는 엑추에이터로 스로틀과 엑티페이터를 제어하여 고도와 대기속도를 제어해야합니다. 고도와 대기속도 제어에는 고도 오차가 사용되며 이는 그림 6.14에서 나타납니다.
이륙 영역 take-off zoned에서는 풀 스로스트 명령이 입력되고 피치 자세는 엘리베이터에 의한 고정 피치 각 $\theta^c$로 제어 됩니다. 상승 영역 climb zone에서 목표는 현제 대기상태에서 상승률을 최대로 해야하며, 이 상승률을 최대로 하기 위해, 풀 스로틀 명령가 피치각을 재어하여 대기속도가 제어됩니다. 만약 대기 속도가 일정 값 이상 넘어가면 비행체가 피치업 하게되어 상승률이 증가하고, 대기속도가 줄어들게 됩니다.
비슷하게 대기속도가 일정 값보다 줄어들면, 피치가 내려가고, 대기속도는 증가하며 상승 변화율도 감소하게 됩니다. 피치 고도를 이용해 효율적으로 대기속도를 제어하면 스톨 상태를 피할 수 있습니다. 하지만 이륙 직후에는 피치 자세로 대기속도를 제어하지 않고, 비행기가 이륙하고 나서 대기속도를 증가하여 비행체가 땅을 향해서 피치 다운한 뒤에 피치 자세를 제어합니다.
하강 영역 descend zone은 상승 영영과 스로틀 커멘드가 0인 점을 제외하면 비슷합니다. 스톨 현상 역시 피치각으로 대기속도를 제어해서 피하며, 그렇게 해서 하강 변화율을 최대로 합니다. 고도 유지 영역 altitude hold zone에선 대기속도는 스로틀을 조절하여 대기속도를 제어하며, 고도는 피치 자세 명령으로 제어됩니다.
그림 6.14와 같은 종방향 오토파일럿을 설계하기위해 다음의 피드백 루프가 필요한데, 첫번쨰로 피치 자세 유지 엘리베이터, 두번째로 스로틀을 사용한 대기속도 유지, 3번째는 피치 자세를 이용한 대기 속도 유지, 피치 자세를 이용한 고도 유지 등으로 이러한 루프들의 설계들을 다루겠습니다. 마지막으로 종방향 오토파일럿을 6.4.5에서 완성하겠습니다.
6.4.1 피치 자세 유지 pitch attitude hold
피치 자세 유지 루프는 롤 자세 유지 루프와 비슷한데 그림 6.15를보면 $\theta^c$에서 $\theta$에 대해 다음과 같이 전달함수가 주어지는데 이경우 DC 게인이 1이 되지 않습니다.
표준 2차 전달함수에서 응답이 주어지면
분모 계수를 통해 다음을 구할 수 있고
입력 오차가 최대가 될때 포화 상태를 피하기 위해 비례 제어를 설정한다면, 다음의 식을 구할수 있으며 이 때 $a_{\theta_3}$의 부호는 $C_{m_{\tdelta_e}}$를 기반으로 하며 음수가 됩니다.
안정성을 확보하기 위해 $k_{p_{\theta}}$, $a_{\theta_3}$은 같은 부호여야 하며 식 (6.19)로부터 피치 루프 주파수를 다음과 같이 계산할수 있으며
식 (6.20)을 $k_d{\delta}$에 대하여 풀면
정리하자면 엑추에이터 포화도 제한$\delta_{e}^{max}$과 최대 피치 오차 $e_{\theta}^{max}$를 알면 비례 게인 $k_{p_{\theta}}$와 피치 루프의 주파수를 구할수 있습니다. 원하는 댐핑비 $\zeta_{\theta}$를 정함으로서 미분 게인 값 $k_{d_{\theta}}$를 고정 시킬수 있게 됩니다.
내부 루프 전달함수의 DC게인은 $k_{p_{\theta}}$ -> $infty$가 되며, DC 게인은 다음과 같이되는데 이 게인은 보통 1보다 작은 값이 됩니다.
모든 주파수 대역에서 내부 루프의 게인을 나타내기 위해 바깥 루프 설계는 DC게인을 사용할것입니다. 내부 루프에서 단위 DC게인으로 하기 위해 적분 요소가 사용될수도 있습니다. 적분기 추가시 내부 루프의 대역폭이 매우 제한될 수 있습니다. 이런 이유로 피치 루프 상에서 적분 제어기를 사용하지 않았습니다.
그래서 이런 이유로 설계 프로젝트에서 실제 피치각은 명령 피치각에 도달하지 못하게 됩니다. 이는 바깥 루프 설계에서 고려해야 됩니다. 피치 자세 유지 루프의 출력은 다음과 같게 됩니다.
6.4.2 피치 명령을 사용한 고도 유지
고도 유지 오토파일럿은 그림 6.16처럼 피치 자세 유지 오토파일럿을 내부루프로 사용하는 연속 폐루프 방식을 사용하며
설계한 피치 루프 함수와 고도 유지 루프는 그림 6.17의 블록 다이어그램으로 추정할수 있게 됩니다.
라플라스 영역에서
폐루프 전달함수는 비행체 파라미터에 독립이고 대기속도에만 의존하게 됩니다. $k_{p_{h}}$, $k_{i_{h}}$는 피치 고도 루프의 주파수가 피치 자세 유지 루프의 주파수보다 작도록 정해야 합니다.
비슷하게 코스 루프에서 주파수 분할 $W_h$는 아래와 같으며 분할 주파수 $W_h$는 5~16사이의 값을 사용하게 됩니다.
고도 유지 루프를 표준 2차 전달함수 형태로 정리한다면
분모 계수를 정리하면 다음을 구할 수 있습니다.
$k_{i_h}$, $k_{p_h}$에 대해서 풀면
댐핑비 $\zeta_h$와 주파수 분할 값 $W_h$를 정해서 $k_{p_h}$, $k_{i_h}$를 정할수 있게 됩니다.
이 피치를 이용한 고도유지루프의 출력은 아래와 같이 정리할수 있습니다.
6.4.3 피치 입력을 이용한 대기속도 유지
피치각을 이용한 대기속도 모델은 그림 5.7과 같습니다. 요란 제거를 위해 PI 제어기가 필요한데, 이 블록 다이어그램은 그림 6.18이 됩니다.
이를 라플라스 영역에서 정리하면
이때, DC 게인은 1과 같고, 스탭 요란이 제거도비니다. 일정한 대기속도를 유지하기위해, 피치각은 받음각이 0이 아닌 상태로 제어되어야 하며, 적분기가 적절한 받음각을 제어합니다.
게인 $k_{p v_2}$, $k_{i v_{2}}$는 피치 입력에 대한 대기속도 루프 주파수는 피치 고도 유지 루프의 주파수보다 작아야 합니다.
여기서 분할 주파수 $W_{v_2}$는 설계 파라미터로 이전에 봤던것과 같은 역활을 합니다. 피드벡 게인은 식 (6.26)의 분모 계수를 2차 표준 전달함수에 대응 시켜서 구할수 잇으며, 사용할 고유 주파수와 댐핑비 $\omega_{n v_2}^{2}$, $\zeta_{v_2}$ 다음과 같이 매칭시키고
제어 게인에 대해 정리할 수 있습니다.
분할 주파수와 댐핑비 $\omega_{n v_2}^{2}$, $\zeta_{v_2}$를 설정하여 제어 게인 $k_{p v_2}$, $k_{i v_{2}}$을 고정시킬수가 있게 됩니다. 피치에 대한 대기속도 유지 루프의 출력은 아래처럼 정리하게 됩니다.
6.4.4 스로틀을 이용한 대기속도 유지
스로틀을 입력으로하는 대기속도 동역학식은 그림 5.7에서 보여주는데 이에 대한 제어루프 시스템은 그림 6.19와 같습니다. 우리가 비례 제어기를 사용하면
여기서 DC 게인은 1이 아니고 스탭 요란이 제거되지 않습니다.
하지만 비례 적분 제어기를 사용하면
DC 게인이 1이되고 스탭 요란이 제거딥니다. $a_{v_1}$, $a_{v_2}$를 안다면, $k_{p_v}$, $k_{i_v}$는 이전에 했던 방식으로 구할수 있습니다. 폐루프 전달함수의 분모 계수와 표준 2차 전달함수의 계수를 같다고 놓고 정리하면
이 표현식을 정리하여 제어 게인을 구할수 있습니다.
이 루프의 설계 파라미터는 댐핑 계수와 고유 주파수 $\zeta_v$, $\omega_{n_v}$으로, $\bar{V_{a}^{c}}$ = $V_{a}^{c}$ - $V_{a}^{*}$와 $\bar{V_a}$ = $V_a$ - $V_a^*$는 그림 6.19에서 에러 신호로 아래와 같으며
그러므로 그림 6.19의 제어 루프는 트림 속도 $V_a^*$를 모르고도 구현할 수 있습니다. 만약 스로틀 트림 값 $\delta_t^*$을 안다면 스로틀 제어 입력은 아래의 식이 됩니다.
하지만 $\delta_t^*$를 정확하게 모르는 경우 $\delta_t^*$에서에러가스탭요란으로들어갈수있고, 적분기로 이 요란을 제거합니다. 스로틀을 이용한 대기속도 유지 루프의 출력은 아래와 같습니다.
6.4.5 고도 제어 상태 머신 altitude control state machine
종방향 오토파일럿은 $i^b$-$k^b$ 평면에서의 종방향 동작 제어(피치각, 고도, 대기속도)를 다룹니다. 이에 대해서 4가지 서로다른 오토파일럿 모드 (1) 피치 자세 유지, (2) 피치 입력 고도 유지, (3) 피치 입력 대기속도 유지, (4) 스로틀 입력 대기속도 유지 들을 설명하였습니다. 이 종방향 제어 모드를 합쳐서 그림 6.20의 종방향 제어 상태 머신을 만들수 있씁니다.
상승 영역에서 스로틀은 최대 값($\delta_t$ = 1)이 되고,피치 입력에 대한 대기속도 유지 모드가 대기속도 제어에 사용되어 스톨 현상을 피하도록 만들어줍니다. 이는 비행체가 설정한 고도까지 최대로 올라가기 때문입니다.
비슷하게 하강 영역에서는 스로틀이 최소 값 ($\delta_t$ = 0)이 되고, 피치 입력에 대한 대기속도 유지 모드는 대기속도를 제어하는데 사용됩니다. 여기서 MAV는 유지해야할 고도 영역까지 일정한 속도로 하강하는데, 그 고도 영역에서 스로틀 입력 대기속도 모드가 $V_a^c$ 주위로 대기속도를 유지시키고, 피치 입력 고도 유지 모드는 $h^c$ 부근에서 고도를 유지시키는데 사용됩니다. 피치 자세 제어 루프는 이 4영역 모든 곳에서 사용하게 됩니다.
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