제어공학 2 - 16 근궤적법을 이용한 앞섬 보상기 설계

근궤적을 이용한 적절한 이득 결정

- 근궤적으로 이득 구하기 힘든 경우도 있음

-> 앞섬 보상기 사용

 

앞섬 보상기

- 원하는 근의 위치를 정함

- 근궤적이 근을 지나도록 설계

 

 

극점 첨가 효과

- 근궤적을 s평면의 오른쪽으로 끌어오는 효과가 있어 안정성이 감소

- 시스템 감쇠비가 작아져 오버슈트가 증가하고 정착시간이 길어짐

- 적분 제어 요소를 첨가하는 효과와 비슷하게 정상상태 응답을 개선할 수 있음(정상상태 오차를 줄일수 있다)

 

1 극점, 2극점, 3극점 시스템의 근궤적

 

영점 첨과 효과

- 근궤적을 왼쪽으로 끌어오는 효과

- 시스템의 감쇠비가 커져 오버슈트가 감소하고 정착시간이 짧아짐

 * 허수축의 가깝던 근궤적이 멀어짐 -> 빨리 수렴 -> 정착시간이 줄어듬

- 미분제어 요소 첨가하는 효과와 비슷하여 과도 상태에서 큰 제어 입력이 필요

- 영점의 위치가 허수축에 가까울수록 영점 효과가 큼

3극점 시스템의 근괴적 및 3극점 시스템에서 영점 첨가의 효과를 나타내는 근궤적

 

극점 첨가의 효과

- 과도 응답을 고려 시 영점 첨가가 좋으나 정상상태 응답 개선을 위해 극점 첨가가 필요

극점과 영점의 혼합

- 실제 구현가능한 제어기에서 극점의 개수가 영점 갯수보다 많거나 같으므로 혼합이 바람직

 

 

앞섬 보상기 lead compensator

- 시스템 응답 속도를 개선하고 정상상태 정확도를 개선하고자 할때 사용

- 위상 앞섬(phase lead) 발성

 -> 모든 주파수에 대해 K(jw) 위상이 항상 +

- 앞섬 제어기 영점은 항상 극점의 오른쪽에 있음

- alpha 값이 작을수록 극점은 왼쪽 멀리 위치

- 하드웨어적인 문제로 alpha의 실제 최소값은 0.07
=> 영점과 극점의 위치를 어디에 둘것인가 고려하여 정해야한다.

 

앞섬 제어기 효과

1) 시스템 안정화 (+과도응답 특성)

- 제어기 영점은 근궤적을 s평면 상에서 왼쪽으로 움직이게 함

예제 : G(s) = K/s(s+1) 인 DC 모터에 PD 또는 앞섬 제어기 적용

 - PD 제어기 전달함수

 

DC 모터 시스템의 근궤적 선도

PD 제어기 문제점

- 순수 미분기는 실제 물리 시스템에서 존재 할 수없고, 센서에 의한 고주파 잡음을 증폭시킴

=> s=-alpha에 극점이 첨가된 앞섬제어기를 사용하는 것이 바람직함

 

앞섬 제어기 전달함수

- PD 제어기에 s=-alpha인 극점을 추가한 앞섬제어기의 전달함수

 

앞섬 제어의 효과

- 양쪽 근궤적에서 이득 K가 작은경우 PD 제어와 효과 유사(허수축에 가까우므로)

- K가 커지면서 앞섬제어 효과가 두드러짐

 

극점과 영점의 결정

- 영점은 정착시간을 고려하여 결정(미분 유사 효과)

- 극점은 영점의 3~20배 위치에 놓아 정상상태 오차를 줄임(적분 유사 효과)

앞섬 제어된 DC 모터 시스템의 근궤적 선도

 

과도응답 특성이 정해진 경우

- 앞섬제어기

- 근궤적이 아래의 그림과 같을 때

 감쇠비 > 0.5, 고유주파수 > 7(rad/s)를 만족하는 이득을 원한다면

1) 감쇠비 > 0.5 -> zeta=0.5 선의 좌측

2) 고유주파수 > 7(rad/s) -> wn=7(rad/s) 점 선의 좌측

=> K=70, 조건을 만족하는 K는 하나가 아님

설계조건을 만족하는 앞섬 제어기 게인 K의 범위

 

앞섬 제어기가 포함된 폐루프의 스텝응답

- 아래의 앞섬 제어기를 포함시킨 폐루프 시스템의 스텝 응답

앞섬제어기가 포함된 폐루프의 근궤적선

- 게인이 70일때 damping > 0.5, wn > 7 조건 만족 + 오버슈트 12%

 

 비례 제어기만 있는 폐루프 시스템의 근궤적선

* 게인이 0.782 인경우

 댐핑비 : 0.566

 고유주파수 : 0.884

- 앞섬제어기에 비해 허수축에 가까이 위치함

 

 

원하는 극점이 있는 경우

- 감쇠비 = 0.5, 고유주파수 = 2(rad/s)가 요구되는 경우 => 앞섬 제어기로 옮기자

 

 

원하는 근에서 플랜트 개루프함수 G(s)의 위상 = -210도

1) 제어기 K(s)에 위상 30도를 주아 위상조건식 -180도 만족

2) 제어기 영점이 -2로 정해지면 극점을 -4에 위치시켜 30도 만족

앞섬제어기가 추가된 블록선도

근궤적선으로 조건을 만족하는 게인 찾기

- 게인이 5.94 일때

 -> 감쇠비 : 0.5, 고유주파수 =2(rad/s) 만족

 

해당 조건에 대한 스텝 응답