집밖은 위험해

근 구하기

root 명령어

- 다항식의 근을 구할 수 있음

poly

- 근을 이용하여 다항식을 구할 수 있음

부분분수 전개 계산

- 특성 방정식의 분자(num)과 분모(den)를 residue 함수를 이용해 부분분수 전개

-> 각 부분분수의 분자(r), 분모 근(p), 나머지 항(k)를 구함

분자가 s에 대한 다항식인 경우

- tf2zp : transfer function to zero and pole - 영점과 극점 계산

- 영점 zero : 분자의 근

- 극점 pole : 분모의 근

-

역라플라스변환 계산

힘이 임펄스 입력인 시스템 응답 - m = 1, k = 9

- 노 댐핑 - 댐핑 비 : 0 ( b= 0)

- 과도 감쇄 - 댐핑비 > 1, b=12

- 임계 감쇄 - 댐핑비 = 1, b = 6

- 과소 감쇄 - 댐핑비 < 1, b = 3

동적 시스템 분석

1. m=1, wn=5 rad/s, damping ratio= 0, 0.5, 1, 2, 10 일때 임펄스 웅답

2. 극점의 변화

- zeta = 0, no damping

- zeta = 0.5, 과소응답

- zeta = 1, 임계응답

- zeta > 1, 과도응답

극점의 위치에 따른 임펄스 응답 특성

질량-스프링-댐퍼 시스템 개요

- 제어 대상물들의 운동 -> 모델링이라는 과정으로 수학적으로 기술되어야함

- 수학적 모델이 필요한 이유 -> 제어 대상물의 운동을 이해해야 제어 설계가 가능함

- 달리는 사람의 무게가 크다면 -> 제동력도 크게 작용해야 원하는 지점에 빨리 멈출 수 있음

- 같은 무게인 경우 -> 달리는 속도/가속도에 따라 제동력이 적절히 결정되어야 함

- 적절한 제어에 필요 한 것 -> 제어 대상의 질량, 스프링 상수, 댐핑 상수 같은 파라미터로 이루어진 운동 방정식

질량-스프링-댐퍼 시스템

- 질량에 스프링과 댐퍼가 병렬로 추가된 시스템

댐퍼의 역활

- 질량/스프링이 가지는 에너지 소모

- 질량의 운동방향과 반대 방향으로 댐퍼에서 힘 작용

- F = 댐핑상수 x 질량 속도

자유물체도 Free body diagram

- 질량 m이 힘 F에의해 x방향으로 변위 x로 xdot의 속도로 움직일때

- 스프링과 댐퍼가 질량에 작용하는 힘을 나타낸것

운동역학선도

- 자유물체도에서 외력 F와 그 반대로 작용하는 두힘 kx와 bxdot이 균형을 이루지 못하는 경우

-> 물체에 관성력 발생

* 관성력 = 질량 x 질량의 가속도

자유물체도와 운동역학선도

- 자유물체도의 힘들과 관성력이 균형을 이루는 경우 물체의 운동 방정식을 구할 수 있음

질량 m의 변위를 구하기

- x항만 좌항으로 이동하여 정리하면

- 주어진 F에 대해 다음의 식을 구하면 질량 m의 변위를 구할 수 있음 -> 아래의 식 1, 2의 합

 1. F(t)가 0인 경우의 해 -> 동차해

 2. F(t)가 0이 아닌 경우의 해 -> 특수 해

동차해의 경우

댐핑 비와 고유진동수

동차해의 경우의 수

- 과도 감쇄(overdamped) : 감쇄비 > 1, 두근이 실수인경우

- 임계 감쇄(critical Damped) : 감쇄비 = 1, 두근이 중근인 경우 -> 진동이 움직임 없이 소멸되는 경우

- 과소 감쇄(Under damped) : 감쇄비 < 1, 두 근이 공액 복소수인경우

F(t)가 임펄스인 특수해의 경우

-> 두 근이 실수인경우, 중근인 경우, 허근인 경우 구할 수 있음.

- 과도 감쇠 : 감쇄비 > 1, 두 근이 서로다른 음수

- 역라플라스 변환을 하여 시간에 대한 식을 구하고 두 해는 음수 이므로 시간이 증가함에 따라 0으로 수렴

- 임계 감쇄 : 감쇄비 = 1, 두근이 중근인 경우

- 과소 감쇄 : 감쇄비 < 1, 두근이 복소수인경우

- F(t)와 초기 조건이 있는 경우

---------------------------------------

시스템 응답 구하기

1) 외력 F가 0, 초기 조건이 있는 경우

- 댐핑비 = 0(댐핑이 없음), m = 1kg, k = 9N/m, x(0) = 1, xdot(0)=0 가정

- 댐핑비 > 1(과도 감쇠), m = 1kg, b=12Ns/m, k=9N/m, x(0)=1, xdot(0)=0

- 댐핑비 = 1, 중근 -> 임계 감쇄

 -> m = 1 kg, b = 6Ns/m, k=9N/m, x(0)=1, xdot(0)=0

- 과소 감쇄 : 감쇄비 < 1, 허근을 갖는 경우

감쇄비와 해의 비교

1. 댐핑이 없는 경우, 감쇄비 = 0

2. 과도 감쇄, 감쇄비 > 1

3. 임계 감쇄, 감쇄비 = 1

4. 과소 감쇄, 감쇄비 < 1

제어공학 개요

제어공학 (Control Engineering)

- 제어 대상이 되는 시스템이 원하는 동작을 하도록 자동 제어 이론을 적용하는 공학

- 플랜트 Plant : 제어 공학에서 말하는 제어 대상

제어의 예 | 빠르게 100m 달리기 vs 빠르게 100m에서 서기

1. 빠르게 100m 달리기

 - 100m 라인을 빨리 지나기 위해 최대한 달리는 과정 -> 제어 과정 없음

2. 빠르게 100m에서 서기

 - 100m 라인 직전/직후에 서기 위해 속도를 줄이거나 되돌아옴 -> 제어 과정으로 목표 달성

제어 공학의 역사

1. 고전 제어 ~ 1955

 주파수 대역 제어기법

  - 단일 입출력 선형 시불변 시스템에 적용

   - 모델식은 전달함수

2. 현대 제어 1955 ~ 1975

 시간 대역 제어기법

  - 일반적인 시스템(비선형 시변 시스템)

  - 모델식은 상태공간 모델  

3. 탈현대 제어 1975 ~

 시간 및 주파수 대역 제어기법(강인제어기법)/ 인공지능 제어기법

   - 일반적인 시스템에 적용

   - 모델식 : 상태공간 모델/ 전달함수 행렬, 인공지능(퍼지추론, 신경회로망) 모델

제어 시스템 발전 역사

- 1788 : Watt 증기기관용 원심 조속기

- 1868 : Maxwell의 증기기관용 원심 조속기의 수학적 모델 설정

- 1877 : Routh의 시스템 안정성 판별법 소개

- 1890 : Lyanpunov 비선형 시스템 안정성 판별법 소개

- 1910 : Sperry의 자이로스코프와 오토파일럿

- 1913 : Ford의 자동차 생산 위한 자동화 조립장치

- 1932 : Nyquist의 주파수 응답을 이용한 폐루프 시스템 안정도 판별법

- 1938 : Bode의 주파수 응답법 및 상태 안정도

- 1948 : Evans의 근궤적법

- 1952 : MIT에서 NC 수치제어 공작기계 개발

- 1956 : Pontryagin의 최적 제어 기법

- 1957 : 우주 시대를 연 인공위성 스푸트니크 발사

- 1960 : Kalman의 최적 추정 기법

- 1961 : Devel 산업 로봇

- 1969 :; Hoff의 마이크로 프로세서

- 1980 : Doyle, Stein, Zemes의 강인 제어 기법

- 1983 : PC 개발 및 제어설계용 SW 개발

- 1998 : 지능 마이크로 기계 및 나노 기계

- 2000 : 휴머노이드 로봇 ASIMO 개발

제어 공학 기본 용어

- G(s) : 제어 대상 시스템인 플랜트

- K(s) : 오차 신호에 따라 적절한 제어 입력을 생성하는 시스템인 제어기

- r(s) : 목표값 또는 요구값을 나타내는 기준입력, 명령입력, 목표입력

- d(s) : 외부로부터 제어 변수를 교란시키는 외란 입력

- n(s) : 센서를 통해 가해지는 센서 잡음 입력

- y(s) : 관심 있는 시스템 변수인 출력

- e(s) : 기준 입력과 측정된 출력 차이로 생기는 오차 신호

- u(s) : 플랜트 조작하기 위해 제어기에서 생성된 제어 입력

* s는 주파수 대역을 나타내는 문자

* 플랜트, 제어기, 센서를 어떻게 할것인가가 나머지 숙제

시스템

- 주어진 목표를 달성하기 위해 상호작용을하는 여러 요소들이 모인 하나의 복합체

1. 정적 시스템

 - 시간에 따라 변하지 않는 시스템 timeinvariant ex) 가로등

 - 출릭이 입력에 따라 결정

2. 동적 시스템

 - 출력이 시간에 따라 변하는 시스템 timevariable ex) 달리는 자동차, 걷는 상태-위치

 - 과거의 입력이 현재 출력에 영향을 미침

개루프 제어 시스템

- 플랜트 출력이 제어기에 아무런 영향을 주지 않는 제어 시스템

폐루프 제어시스템

- 플랜트 출력을 피드백 하여 기준 입력과 비교하여 그 차이가 없어질떄까지 제어하는 시스템

단일 입출력 시스템 SISO Single Input Single Output

- 입력 및 출력이 단일 변수인 제어 시스템

다변수 제어시스템 MIMO Multi Input Multi Output

- 입력/출력이 2개 이상 다변수인 제어 시스템

자동 난방 장치

- 피드백 : 실제 온도(출력)와 요구 온도(기준 입력)을 비교하여 그 오차를 제어 입력에 반영하는 과정

1. 제어 목적 : 방 20도 유지 -> 20도 기준 입력

2. 실제 온도가 20도가 안되면 오차에 의한 신호 발생 -> 보일러가 열공급

3. 20도 도달 -> 오차 0 -> 보일러 중단

4. 외부 열 누출 -> 방온도 하락, 오차 발생 -> 보일러 재가동

5. 이 과정이 반복되어 요구 온도 유지

피드백의 장단점

- 장점

 1. 시스템 불확실성에 대한 안정도, 성능 강인성

 2. 시스템 성능 향상

 3. 불안정 시스템을 안정한 시스템으로 바꿈

 4. 비선형 시스템에 대해 넓은 작동 범위에서 선형성 증대

- 단점

 1. 센서 장착에 의한 추가비용, 보수 유지비 등 경제적인 문제

(2) 제어 시스템 설계 절차

1) 수학적 모델링

 1. 실제 물리적 시스템을 수학적 식으로 표현

 2. 전달 함수 또는 상태 공간 모델식으로 표현

 3. 모델링 과정에서 모델링 오차에 의한 시스템 불안정성 고려해야함

   - 실제 제어 시스템 성능 및 안정-강인성 문제

 4. 수학적 모델링 방법

   - 뉴턴의 제 2법칙을 이용한 동역학적 방법

   - 블록 선도(Block Diagram)

2) 시스템 해석

 - 시스템 안정도 및 성능을 예측하고 검토하는 과정

 1. 안정도 평가

  - 공칭 안정도 : 공칭 모델

  - 안정성-강인성 : 모델링 오차를 고려한 실제 모델

 2. 성능 평가

  - 명령 추종 성능 : 출력 기준 입력

  - 센서 잡음에 대한 저감도

  - 외란 제거 성능

  - 성능-강인성

3) 제어 시스템 설계 및 구현

 - 비례-적분-미분(PID)

 - 앞섬/뒤짐(Lead/Lag)

 - 고유구조(Eigenstructure) 

 - LQ제어(Linear-quadratic control) 설계방법

 - LQG제어(Linear-Quadratic Gaussian control) 설계방법

 - 기술 함수를 이용한 제어기 설계 방법

 - 입출력 선형화를 이용한 제어기 설계 방법

 - 슬라이딩 모드 제어

 - 적응 제어(Adaptive Control)

 - 지능 제어(Fuzzy, Neural Network) 설계 방법

질량-스프링 시스템의 동적 특성 이해

스프링 시스템 특성

- 제어 : 시변 시스템

- 질량-스프링 : 기계적 시변 시스템의 기본 구조

- 정역학 : 스프링에 가해지는 힘이 시불변인 경우

- 힘 F가 시간에 대해 일정하면 스프링 변위 x는 일정

- F와 x의 관계는 후크 법칙으로부터 F = kx로 시불변

* k는 스프링 상수이고 스프링 질량은 무시

질량-스프링 시스템 동적 특성

- 시변(동역학) : 질량-스프링에 힘이 가해지는 경우

- 힘 F에 대해, 질량 m의 변위 x도 시간에 따라 변함

- F와 x의 관계 : 후크의 법칙과 뉴턴의 제2법칙 사용

- 시변 시스템이므로 제어의 관심 대상 

힘 F가 시간의 함수로 주어질때 변위 x는 어떻게 구하는가?

- x의 일반해 = 동차해 + 특수해

- 동차해 complementary solution : 힘 F가 0일때 해

- 특수해 particular solution : F가 0이 아닌 특정 함수인 경우를 만족하는 해

1. 동차 해. 라플라스 변환 적용

2. 특수해 

- 모든 초기 조건이 0이고, F는 임펄스 입력인 경우

- 초기 조건이 0이 아니고, F는 임펄스 입력인 경우

  -> 동차해와 특수해를 더하여 변위 x(t)를 구할 수 있음

- 초기조건이 0이 아니고 F가 스탭 입력인 경우

- 질량-스프링 시스템에서 일정한 힘을 주어선 물체를 특정 변위로 가도록 제어 할 수 없다.

제어

- 어떤 시스템(플랜트)이 원하는 동작을 하도록 입력을 조절하는 방법

대상 시스템

- 모터, 로봇, 비행기, 자동차, 화학 공정 등

상태

- 대상 내부 상태

ex) 자동차 위치, 속도, 자세(roll, pitch, raw) 등

출력

- 대상 시스템의 상태 일부나 이들이 결합합된 양

- 보통 센서로 측정하고, 그 값을 제어에 활용 함

제어기

- 아날로그 회로나 마이크로 프로세서 내의 프로그램에서 구현됨.

- 설계된 제어 알고리즘에 따라 대상 시스템에 입력을 계산하는 부분

제어 목표 4가지

1. 안정성 Stability

 - 대상 시스템의 상태나 출력이 발산하지 않고 일정 범위내 유지 -> 안정

 - 되먹임 제어에서 안정성이 확보되면 명령 추종이 달성됨

2. 명령 추종 Command Following

 - 시스템 출력이 명령을 정확히 따라가도록 해야함

3. 외란 제거 Disturbance Rejection

 - 외부로부터 외란이 들어오더라도 출력에 미치는 영향이 작도록 해야힘

4. 잡음 축소 Noise Reduction

 - 측정 잡음이 있더라도 출력에 미치는 영향을 줄여야함. 잡음은 센서에서 들어오는 경우가 많음

제어 시스템 연결 방식

1 open loop 개로 제어

 - 출력 시스템을 사용하지 않은 방식

 - 대상 시스템 특성을 잘 아는 경우에만 정확한 제어가 가능

 - 외란, 잡음으로 인해 산업 현장에서는 개로 제어 보다는 되먹임 제어를 많이 사용함

2. feedback 되먹임 제어

- 플랜트 출력을 입력단에 되먹여 제어에 활용

- 대상 시스템 특성 일부를 모르더라도 되먹임 특성을 이용하여 정확한 제어 가능

- 외란과 잡음에 대처 가능 -> 산업현장에서 사용