선형대수 - 벡터

벡터의 해석

- 벡터는 4개의 해석을 할 수 있는 행렬

 

 

벡터와 집합

 

벡터의 점 표현

- c는 임의의 실수 인 경우. 점 (0, c)

 

벡터의 축 표현

- x_2 축은 집합 {c (0 1)^T | c는 임의의 실수}로 표현

 

벡터의 실수 표현

- 직선 x_1 = 3은 집합 {3 (1 0)^T + c (0 1)^T | c는 임의의 실수} 로 표현

 

벡터의 평면 표현 1

- x1, x2 평면을 다음 집합으로 표현할 수 있다.

벡터의 평면 표현 2

- x1, x2 평면을 다음의 집합으로 표현가능하다

 

벡터의 공간 표현 1

- x1x2x3 공간을 다음의 집합으로 표현 가능하다.

 

벡터의 n차원 공간 표현

- x1x2x3 ... xn 공간은 다음의 집합으로 나타낼 수 있다.

선형 독립

- 각 벡터를 0을 제외한 스칼라 배 한 결과가 영행렬을 만들 수 없는 경우 선형 독립(1차 독립)

선형 종속

- 각 벡터를 0을 제외하고도 스칼라 배 한 결과가 0이 될 수 있는 경우 선형 종속(1차 종속)

기저

- m 차원 임의의 원소를 표현하기 위한 필요한 최소한의 벡터

- 기저의 스칼라배하면, 기저가 속하는 집합의 모든 요소들을 구할 수있음.

- 기저는 선형 독립적

기저의 예시

선형 독립과 기저

- 선형 독립 : 제로 벡터에 대해 해가 0 스칼라배일 때만 유일한 경우 선형 독립

- 기저 : m차원 임의의 원소를 표현하기 위한 최소한의 집합 - 해가 여러개면 기저가 아님

- 기저가 아니어도 선형독립 힐 수 있다.

* 선형 독립은 제로 벡터에만 한정.

* 기저는 m차원 모든 벡터를 상대로 함

 

부분 공간

- W의 임의의 원소를 c배 한것도 W의 원소

- W의 임의의 원소의 합도 W의 원소

=> 위 두 조건을 만족시 W는 m차원의 부분공간

 

부분 공간의 예시

 

생성된 부분 공간

 

생성된 부분 공간 예시

 

기저와 차원

- W는 m차원의 부분공간이고, W의 선형독립인 원소가 다음 식 성립 시 선형 독립인 원소는 부분공간W의 기저가 됨

- 기저의 원소 갯수 n은 부분 공간 W의 차원 -> dimW로 표기

좌표

- 기저를 전제로 좌표를 구함

- 원점과 점의 관계를 아래의 그림처럼 해석