선형 대수 - 행렬

선형 대수

- n차원을 m차원으로 변환하는 학문

ex) 1차원 -> 2차원, 2D -> 3D, 3D -> 2D ...

 

선형 대수 학습 흐름

1. 행렬

2. 벡터

3. 선형 사상

4. 고유값과 고유벡터

 

사상(projection)

- 집합 X의 원소를 집합 Y의 원소를 대응시키는 규칙

-> 집합 X에서 집합 Y로의 사상

 

치역과 정의역

- 집합 f(x1), f(x2) .., f(xn)을 사상 f의 치역

- 이 때 집합 X를 사상 f의 정의역

 

전사 surjective

- 사상 f의 치역과 집합 Y가 동일한 경우

 

단사 injective

- x1 != x2 이면, f(x1) != f(x2) 인 경우 사상 f는 단사

- 단사 = 1대1 사상

 

전단사 bijective

- (f 치역 = 집합 Y) and 1대 1 사상

-> 전단사 = 1대 1 대응

역사상

- 사상 g는 사상 f의 역사상

- 역사상이 존재 -> 사상 f는 전단사

 

선형 사상

- 아래의 두 조건을 만족하는 경우 사상 f는 X에서 Y로 선형사상

* c는 임의의 실수, x_i x_j는 집합 X의 원소

1. f(x_i) + f(x_j) = f(x_i + x_j)

2. c f(x_i) = f(c x_i)

선형 사상인 예와 아닌 예

- 선형 사상 o : f(x) = 2x

- 선형 사상 x : f(x) = 2x - 1

 

행렬, 정방행렬

- 행렬 matrix : 수를 m 행 n 열로 묶음

- 정방행렬 square matrix : 행과 열이 일치한 행렬

행렬 표기

행렬들

1. 영행렬

2. 전치행렬

3. 대칭행렬

4. 상삼각행렬

5. 하삼각행렬

6. 대각행렬

7. 단위행렬

8. 역행렬

 

영 행렬 zero matrix

- 모든 성분이 0인행렬

 

전치 행렬 transpose matrix

- 행과 열을 바꾼 행렬

 

대칭 행렬 symmetry matrix

- 대각 성분을 중심으로 대칭인 n차 정방행렬

 

상삼각/하삼각행렬

- 대각 성분의 위/아래가 0인 n차 정방행렬

 

대각행렬 diagonal matrix

- 대각 이외 성분이 모두 0인 n차 정방행렬

- diag(1, 3, 1) 과 같이 표현

 

단위 행렬 unit matrix

- diag(1, 1, ..., 1)인 행렬

- 대각 성분이 1이고, 나머지는 전부 0 인 n차 정방행렬

 

역행렬 inverse matrix

- n차 정방행렬 A와 곱이 n차 단위 행렬이 되는 정방행렬 

- 역행렬 구하는 방법, 역행렬 유무 확인 방법이 중요

역행렬 구하는 방법

- 여인수 방법, 가우스 소거법 방법

 

가우스 소거법

- 연립 방정식 좌항을 단위 행렬로 바꿔 연립 방정식을 푸는 방법

가우스 소거법으로 역행렬 구하기

 

행렬식 determinant

- determinant = 결정자 -> 역행렬 유무 판단

- A는 n차 정방행렬,  det(A) != 0 이면 역행렬이 존재

 

2차 정방행렬 행렬식 구하기

 

3차 정방행렬 행렬식 구하기

- 사루스 방법

 

크레이머 공식

- 1차 연립 방정식을 푸는 공식

 

크레이머 공식으로 연립방정식 풀기