대학수학 - 7. 미분 2

 

 

평균 변화율과 순간 변화율, 법선

- 평균 변화율 = 할선 scant line의 기울기 slope of secant

- 순간 변화율 = 접선 tangent line 의 기울기 slope of tangen

- 법선 normal line: 접선과 수직인 선

 

https://m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=miseos&logNo=221233704901&proxyReferer=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

 

 

 

 

평균값 정리

- 함수 y = f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 (a, b)에서 미분 가능한 경우 아래의 식을 만족하는 c가 (a, b) 사이에 적어도 한개가 존재

 

$\frac{f(b) - f(a)} {b - a}$ = f'(c) 

 

 

 

 

 

극댓값, 극솟값, 극값

1. 극댓값 local maximum

 -열린구간 I에서 f(c)가 최대값인 경우 f(c)는 극댓값, x = c에서 f(x)는 극댓값 가짐

2. 극솟값 local maximum

 - 열린구간 I에서 f(c)가 최소값인 경우 f(c)는 극속값, x = c에서 f(x)는 극솟값이됨

3. 극값 local extrema

 - 극솟값 혹은 극댓값

=> 아래의 그림은 전역 극대점, 전역 극소점, 지역 극대점, 지역 극소점을 나타냄

https://en.wikipedia.org/wiki/Maxima_and_minima

 

 

 

 

 

최적화 문제

- 최대값이나 최소값을 구하는 문제

 

최소 자승법 least square method : LSM

- 에러 제곱 합 sum of squared error을 최소로하는 해를 구하는 방법

 => 점과 직선사이에 오차가 가장 작도록 하는 직선을 구할 시 사용

 

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Least_Squares.gif

 

 

 

미소 증분과 선형 근사

- 미소 증분 $\Delta x$가 충분히 작다면 dx(미분)이 되며, 아래와 같이 정리 가능

  $\Delta_y$ = f(a + $\Delta_x$) - f(a) $\approx$ f'(a) $\Delta$ x

 

- a + $\Delta_x$ = x로 하면 다음과 같이 x = a에서의 직선의 방정식을 선형 근사하여 얻을 수 있다.

f(x) $\approx$ f'(a) (x - a) + f(a)

 => 직선이 아닌 n차에 대한 근사로 테일러 전개가 있음.

 

 

수치미분 numerical defferential

- 미분 공식으로 도함수를 얻을수 있으나, 미분 계수 근사값만으로도 충분할수도 있음.

- x = a에서의 미분 계수와 미소 증분이 충분히 작은 경우 평균 변화율(할선의 기울기)과 순간 변화율(점선의 기울기)은 비슷

 

순간 변화율(미분 계수) : f'(a) = $lim_{\Delta x -> 0} \frac{f(a + \Delta x)  - f(a) } {\Delta x}$

 

평균 변화율(미소 증분이 작은 경우) : f'(a) $\approx$ $\frac{f(a + \Delta x) - f(a)} {\Delta x}$

 

 

뉴턴 방법 netwon method

- 4차 방정식부터 근의 공식이 존재하지 않음

- n차 함수 f(x) = 0인 경우의 해를 어떻게 구할까?

1. x= a1에서 접선을 구함. 이 접선의 x 절편을 a2

   y - $f(a_1) = f'(a_1) (x - a_1)$

   $a_2$ = $a_1$ - $\frac{f(a_1)} {f'(a_1)}$

2. x = a2에서 접슨을 구함. 얻은 접선의 x절편 a3

....

=> f(x) $\approx$ 0인 x를 구하게 됨.

   $a_{n + 1}$ = $a_{n}$ - $\frac{f(a_n)} {f'(a_n)}$

 

$lim_{n -> \infty} a_n$ = $\alpha$

 

- f($\alpha$) = 0

- 아래는 뉴턴 방법으로 f(x) = 0이되는 x= $\alpha$를 뉴턴 방법으로 구하는 과정

https://medium.com/@ruhayel/an-intuitive-and-physical-approach-to-newtons-method-86a0bd812ec3

 

 

 

경사법 gradient method

- 목적 함수, 비용 함수를 정의하여 이 비용이 최소(극소)가 되는 방향으로 내려가는 방법

- 보폭크기 $\alpha$만큼 경사 방향으로 내려감

https://medium.com/diogo-menezes-borges/what-is-gradient-descent-235a6c8d26b0