대학수학 - 6. 미분

 

1. 미분

미분 derivative

- 변화하는 정도. 즉, 기울기

 

 

평균 변화율 average rate of change

- y = f(x)가 주어질때 x = $x_0$, x = $x_1$ 사이에서의 평균 변화율. 아래와 같이 정의

 => 두 점을 지나는 직선의 기울기

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_1) - f(x_0)} {x_1 - x_0}$

 

 

 

미분 계수 differential coefficient

- 함수 y = f(x)가 주어질때, x = a에서의 미분계수는 다음과 같이 정의

$lim_{\Delta x -> 0}  \frac{f(a + \Delta) - f(a)} {\Delta x}$

 

- 위 비분계수가 수렴하는 경우 극한값은 f'(a)

 => x = a에서 미분 가능함.

 

 

 

미분 계수와 미소 증분

- 미소 증분 increment $\Delta x$: x가 0에 가깝지만 0이 아닌, 아주 작은 값의 증가.

- x = a에서 증분 값 $\Delta x$가 0에 가까워질때 평균 변화율은 순간 변화율이 되어 f'(a)로 표기

 

 

 

도함수 derivative

- 함수 y = f(x)가 주어질때, f(x)의 도함수를 아래와 같이 정의

f'(x) = $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{df}{dx}$ = $lim_{\Delta x-> 0} \frac{f(x + \Deta x) - f(x)}{\Delta x}$

 

 

상미분 ordinary derivative

- 일변수 함수 y = f(x)에 대해, 함수 f를  독립 변수 x에 대한 도함수

- 도함수와 동일

 

f'(x) = $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{df}{dx}$ = $lim_{\Delta x-> 0} \frac{f(x + \Deta x) - f(x)}{\Delta x}$

 

 

편미분 particial derivative

- 다변수 함수 y = f(x, y)가 주어질때, 함수 f에 대해 독립변수 x와 y 각각에 대한 도함수

$\frac{\sigma f}{\sigma x}$, $\frac{\sigma f}{\sigma y}$

 

 

접선의 방정식

- y = f(x)에서 x = a에서 미분 가능한 경우, 접선의 방정식

y = f'(a)(x - a) + f(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 미분 법칙 

함성 함수의 미분 - 연쇄법칙

- z = f(y),  y = g(x)가 주어질때 z를 x에 대해서 미분하면. 즉, z = f(g(x))의 x에 대한 미분

$\frac{dz}{dx}$ = $\frac{dz}{dy}$ $\frac{dy}{dx}$ = f'(g(x)) g'(x)

 

 

 

 

 

로피탈 정리

- f(0) = g(0) = 0이고, f'(0)과 g'(0)이 존재하면 아래의 식이 성립

$lim_{x->0} \frac{f(x)}{g(x)}$ = $lim_{x -> 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$