대학수학 - 5. 수열

1. 수열

 

수열 sequence

- 자연수 N 집합을 정의역, 실수 전체 집합 R을 공역으로 하는 함수

 => f : N -> R

- 보통 수열은 a(n)으로 표기되어 f(n) = $a_n$이 됨

- 함수와 구별되도록 아래와 같이 표기

$a_1$, $a_2$, . . . = {$a_n$}

 

 

무한 수열 infinite sequence

- 정의역 N이 무한한 대응 관계를 갖는 함수

 

등차 수열

- 이웃하는 두 항의 차가 d로 일정한수열

$a_n$ = $a_1$ + (n-1)d

 

등비 수열

- 이웃하는 두 항의 비가 r인 수열

$a_n$= $a_1$ $r^{n-1}$

 

 

 

수렴 Convergence

- 수열 $a_n$에서 n이 증가함에 따라 $a_n$이 일정 값 $\alpha$에 가까워지는 현상

      => 수열 $a_n$은 $\alpha$에 수렴

- n이 무한대에 가까워질때 $a_n$이 $\alpha$로 수렴 하는것을 다음과 같이 표현

     => n -> $\inf$, $a_n$ -> $\alpha$ or lim$a_n$ = $\alpha$

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_sequence

 

발산 divergence

- 수열 $a_n$ 이 수렴하지 않는 경우

- 무한대로 갈수록 하나의 값에 가까워지지 않고, 매우 커지거나 매우 작아짐 

=>   n -> $\inf$ => $a_n$ -> $\inf$ or lim $a_n$ = $\inf$ {=$-\inf$}

 

https://m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=alwaysneoi&logNo=100145825300&proxyReferer=https:%2F%2Fwww.google.com%2F

 

 

 

 

진동 osillate

- 여러 값에 가까워지기는 하지만 한개의 값에 수렴하지는 않는 경우

 => 진동도 발산

 

 

 

수렴 수열과 경계

- 수렴하는 수열은 절대값이 유계(한계가 존재, bounded)

- 충분히 큰 실수 M이 존재하고, 모든 자연수에 대해 다음이 성립

|$a_n$| <= M

 

 

단조 증가 수열과 단조 감소 수열

- 단조 증가 monotone increasing : 수열 $a_n$이 아래의 조건을 만족하면서 계속 증가하는 경우

$a_n$ <= $a_{n+1}$

 

- 단조 감소 monotone decreasing : 수열 $a_n$이 아래의 조건을 만족하면서 계속 감소하는 경우

$a_n$ >= $a_{n+1}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 급수

 

무한 급수 infinite series

- 무한 수열 $a_n$의 모든 항을 합한 식

$\sum_{k = 1}^{\infty}a_k$ = $\lim_{n -> \infty} \sum_{k = 1}^{n}a_k$

 

무한 등비 급수

- 일반 항이 $a_n$ = $a r^{n-1}$인 무한 등비수열의 급수

=> S = a + ar + a$r^2$ + . . . 

 

 

양항 수열과 양항 급수

- 양항 수열 : 모든 항 $a_n$이 0이상인 수열

- 양항 급수 : 양항 수열의 무한 급수

 

 

교대 급수

- 단조 감소하는 양항 수열 $a_n$이 존재할때, 교대 급수는 아래와 같다.

 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $(-1)^{n-1} a_n$

- 위 교대 급수가 수렴하기위한 필요충분 조건은 아래와 같다.

$\lim_{n -> \infty}$ $a_n$ = 0

 

 

 

 

 

 

 

3. 함수의 극한

극한

- 함수 f(x)에서 x가 a로 가까워질때 f(x)가 상수 b로 가까워지는 현상

 => x가 a로 수렴할 때, f(x)는 b로 수렴함

- 이를 아래와 같이 표기

     1. $\lim_{x->a} f(x) = b$ 

     2. x -> a    =>    f(x) -> b

 

 

극한 값 존재 여부

- x가 a로 가까위질때, + 방향에서 가까워짐과 동시에 -방향에서도 가까워지는 값이 동일하면 극한 값이 존재한다고 한다.

  * 임의의 수 a에서 함수 f(x)가 끝어져, +방향과 -방향에 따라 f(x)서로 다른 값으로 수렴할수 있기 때문

$\lim_{x -> a^{-}} f(x) = b$ = $\lim_{x -> a^{+}} f(x)$ = $\lim_{x -> a} f(x)$ = b

 

 

 

 

 

 

4, 함수의 연속

함수의 연속

- 다음의 세 조건을 만족하면 f(x)는 x = a에서 연속함

 1. x = a에서 f(a)가 존재

 2. $\lim_{x -> a}$ f(x)도 존재

 3. $\lim_{x -> a}$ f(x) = f(a)

 

함수와 연속

- 함수 f(x)가 특정 구간에서 모든 점에 대해 연속일 떄 => f(x)는 그 구간에서 연속 continuous

- 모든 점에서 연속이지 않은 경우 => f(x)는 그 구간에서 불연속  discontinuous

 

 

최대 최소 값 정리 extreme value theorem

- 닫힌 구간 [a, b]에서 f(x)가 연속이면, 반드시 이 구간에서 최대 최소값을 가짐

 * 닫힌 구간 [a, b] : a ~ b사이 범위. a와 b 포함

 * 열린구간 (a, b) : a ~ b사이 범위이나 a와 b는 불포함

https://m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=junhyuk7272&logNo=220622811624&proxyReferer=https:%2F%2Fwww.google.com%2F

 

 

중간값 정리 intermediate value theorem

- 아래의 조건을 만족할 떄

 1. 닫힌 구간 [a, b]에서 f(x)가 연속

 2. f(a) < f(b)

- 중간값 정리 : f(c) = u인 c가 닫힌 구간 [a, b]에서 적어도 하나는 존재

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A4%91%EA%B0%84%EA%B0%92_%EC%A0%95%EB%A6%AC