통계 - 6. 가우시안 분포들

단변수 가우시안 분포 univariate(unimodal) gaussian distribution

- 가장 많이 사용하는 분포

- 두 개의 파라미터(모수) 평균 mu와 표준편차 sigma가 사용됨.

- 아래의 식은 단변수 가우시안 분포의 확률 밀도 함수

 => 파라미터인 모집단의 평균 mu과 분산 sigma를 알면 확률 밀도 함수로 모델링 가능! 

- 단변수 가우시안 분포의 예시

 * unimodal은 단봉. 즉, 봉우리가 하나인 가우시안 분포를 의미함.

 

https://www.statisticshowto.com/unimodal-distribution-2/

 

이변수 가우시안 분포 bivariate guassian distribution

- 확률 변수가 1변수가 아닌 2개인 경우 가우시안 분포

 

 

다변수 가우시안 분포 multivariate guassian distribution

- 벡터공간 R^n에서 정의됨. 

- 평균 mu와 공분산 Sigma는 n x n 크기의 가역적인 양의 정부호 행렬 invertible positive definite 대칭 행렬

- 여기서 mu는 가우시안들의 중심으로 (d x 1) 형태의 벡터

- sigma는 (d x d) 형태의 공분산 행렬)

 

- 아래의 그림은 이변수 인 경우의 다변수 가우시안 분포의 공분산 형태에 따른 확률 분포 플로팅 결과를 보여줌

https://daeson.tistory.com/218

 

복습 정리 : 선형대수(복) - 4. 고유치와 대각화, 변환, 분해

복습) 양의 정부호 행렬, 양의 준정부호 행렬

- 행렬 A가 주어질때, 벡터 x가 0이외인 경우에도 아래의 조건을 만족하면 A는 양의 (준)정부호 행렬이 됨.

- 양의 정부호 행렬 positive definite matrix : x^T A x >= 0

- 양의 준정부호 행렬 positive semi-definite matrix :  x^T A x X 0

 

 

복습) 양의 정부호 행렬과 직교화

- 조건 1. A가 양의 정부호 행렬이고, x가 직교 행렬인 경우

    * x x^T = I 가 성립하는 경우 -> x^-1 = x^T인 경우 x는 직교행렬)

- 조건 2. 아래를 만족하는 대각 행렬 x가 존재할때, A는 대각화가 가능함 diagonalizable

     D = x^-1 A x

- 정리 : 위 두 조건에 따라 다음의 고유치 분해 eigen value decomposition 를 위한 식을 얻을수 있음

     D = x^T A x

  => 결론 : 역행렬 x^-1 계산 없이 전치행렬 x^T로 행렬 A는 대각화 가능함 -> 고유치 분해

 

 

 

 

 

 

중심 극한 정리 central limit theorem

- 표본 크기 n이 증가할수록, 표본 평균은 정규분포에 까워짐

=> 즉, 표본의 크기가 증가할수록 모집단의 평균과 분포와 유사해짐

- 아래의 그림은 표본의 갯수가 커질수록, 확률 분포가 정규 분포와 유사해지는 과정을 보여주고 있음.

https://bioinformaticsandme.tistory.com/277