통계 - 4. 기본 확률 변수

확률 변수 random variable

- 실행 결과들을 수치로 대응시키는 함수

 * 확률 변수는 변수 variable이 아니라 하나의 실수 함수(real function)

 

확률 변수의 예시

- 두개의 동전을 동시에 던지는 실험

 => 확률변수 X에 사용가능한 x = {0, 1, 2}

 

 

확률 분포

- 확률 변수 개별 값들의 분포

- P(X = x)로 정리하면 확률분포표를얻을수 있음.

=> 확률 함수 : 개별적인 확률 값들을 확률 공간상의 확률로 정리하는 함수

 

확률 함수의 종류

- 이산 확률 분포 : 확률 변수가 이산 확률변수인 경우. => 확률 질량 함수 PMF Probability Mass Function

- 연속 확률 분포 : 확률 변수가 연속 확률변수인 경우 => 확률 밀도 함수 PDF Probabilty Density Function

- 누적 분포 함수 CDF cumulative Distribution Function

  : 확률 질량/밀도 함수를 누적하여 얻은 확률변수

 => 아래는 정규분포의 누적 분포 함수

https://en.wikipedia.org/wiki/Cumulative_distribution_function

 

 

 

확률밀도함수와 확률 질량함수

- 확률 밀도함수 : 연속확률변수 X의 누적확률분포 F(X)의 미분으로 정의

- 확률 질량함수 : 이산확률변수 X의 누적확률분포 F(X)의 미분으로 정의

 

 

기대값 Expectation

- 학률변수의 평균

- 표본 성질 : 일반 데이터들의 성질

- 확률 분포의 성질 : 모집단(or 모델)의 성질 

 * 기호구분 : 일반 데이터(샘플, 표본)와 모집단(전체 집단)의 평균과 표준 편차 기호를 아래와 같이 구분함

 

표본 기댓값 expectation of sample 과 모집단 기댓값 expectation of population

- 샘플 데이터들의 평균은 아래의 식으로 계산.

- n_x를 x의 횟수라 한다면, 아래와 같이 정리되고 n이 커지면 통계적 확률(근사 확률 ) p(x)를 얻음

 => n이 전체 공간의 갯수만큼 된다면 모집단의 평균을 구하게 됨.

 

 

 

표본에 대한 분산으로 모집단 분산 구하기

- 표본에 대한 분산 식이 주어지면 아래의 정리를 통해 n이 최대가 되면 모집단의 분산이 됨.