확률적 로봇공학 - 4.2.2 중요도 샘플링

그림 4.2 파티클 필터에서 중요성 요소

(a) 타겟 확률 밀도 f를 근사화 시키도록 하겠습니다.

(b) f에서 바로 샘플링하는 대신 다른 밀도 함수 g로부터 샘플들을 생성시킵니다. 이 샘플들은 이 다이어그램의 바닥에 표시되고 있습니다.

(c) f의 샘플은 각각의 샘플 x에 대해 가중치 f(x)/g(x)로 구하며, 파티클 필터에서 f는 신뢰도 bel($x_t$)와 같고, g는 $\bar{bel}(x_t)$가 됩니다.

 

4.2.2 중요도 샘플링 Importance Sampling

 파티클 필터를 구하기 위해서 리샘플링 단계를 자세히 살펴봅시다. 그림 4.2가 리샘플링 단계를 보여주고 있습니다. 그림 4.2a는 목표 분포 target distribution인 확률 분포 f의 밀도 함수를 보여주고 있습니다. 우리는 f의 샘플을 구하여야 합니다. 하지만 f로부터 바로 샘플링을 수행하는것은 불가능 하고, 이와 관련된 밀도 함수로부터 파티클들을 만들어 낼 수 있는데 이 밀도 함수는 그림 4.2b의 g가 됩니다. g를 따르는 는 확률 분포를 제안 분포 proposal distribution이라 부릅니다. f(x) > 0, g(x) > 0ㅇ므로 g로부터 생성한 파티클들은 0이 아닌 확률들이며, 결과적인 파티클 집합은 4.2b의 바닥과 같으며 g를 따르게 됩니다. 

 구간 interval A $\subseteq$ range(X)일 때, A에 부합하는 파티클의 수들은 A에서 g의 적분으로 모여들게 됩니다.

 f와 g사이의 차이를 상쇄시키기 위해 파티클 $x^{[m]}$이 가중되어 집니다.

 이는 그림 4.2c에서 보여주고 있는데 이 그림의 수직 바가 중요성 가중치의 크기를 보여주고 있습니다. 중요성 가중치는 각각의 파티클에 대해 정규화 되지 않은 확률 질량이됩니다. 아래의 첫번째 항이 모든 중요성 가중치에 대한 정규화자로 사용되는 식을 구할 수가 있습니다.

 정리하자면 g로부터 파티클들을 생성시키더라도 f에 따라 파티클들의 가중치가 주어집니다.

 이는 집합 A에 대한 적분을 포함하고 있으며, 여기 예제에서 f는 연속적이지만 파티클 집합은 이산 분포를 보여주고 있습니다. 이 때문에 파티클과 관련된 밀도는 존재하지 않게 됩니다. 집합은 그래서 f에 대한 누적 분포 함수가 됩니다.

 

 파티클 필터에서 밀도 f는 목표 신뢰도 $bel(x_t)$가 되며, $\chi_{t-1}$에서 파티클은 bel($x_{t-1}$에 따라 분포한다고 할때 밀도 g는 아래의 곱 분포가 됩니다.

 

 

이 분포를 제안 분포 proposal distribution라 부릅니다.

 

4.2.4 파티클 필터 성질

생략

 

4.3 정리

 이번 장에서는 두 비모수적 베이지안 필터인 히스토그램 필터와 파티클 필터를 살펴보았씁니다. 비 모수적 필터는 유한개의 값으로 사후 확률을 근사화를 하며 사후확률의 형테와 시스템 모델에 대해 약한 가정을 하며, 필터 두가지 사후확률을 나타내기 위해 사용되는 값의 수가 무한대가 될수록 근사 에러가 균일하게 0이 되는 성질을 가지고 있습니다.

 

- 히스토그램 필터는 상태 공간을 유한개의 공간으로 분해하며,각각의 영역을 단일 값으로 사누적 사후 확률 분포를 나타냅니다.

 

- 로봇 공학에서는 수많은 분해 기슬이 있는데 낱알 모양의 분해 granularity of a decomposition는 환경 구조에 따라 사용될수도 사용되지 않을수도 있습니다. 환경 구조에 따라 하는 경우 이러한 알고리즘을 위상학이라고 부릅니다.

 

- 분해 기술은 정적과 동적으로 나눌수 있는데 정적은 일찍이 만들어졌으며 신뢰도의 형태를 무시합니다. 동적 분해는 상태 공간을 분해할 때 로봇의 신뢰도에 따라 수행되며 사후 확률에 비례하여 해상도가 증가하게 됩니다. 동적 분해는 더 나은 결과를 보여주지만 구현하기에는 더 어렵습니다.

 

- 비모수적 방법의 대안으로 파티클 필터가 있는데, 파티클 필터는 사후 확률로부터 구한 상태에 대한 임의의 샘플들로 사후확률을 표현하게 됩니다. 이러한 샘플들을 파티클이라 부르며 파티클 필터는 구현하기 쉽고, 이 책에서 보여주는 모든 베이즈 필터 중 가장 유용합니다.

 

- 파티클 필터에서 에러를 줄이기 위한 방법으로 가장 많이 사용되는 것은 알고리즘에 의해 발생하는 근사치의 분포를 줄이는 것으로 이는 사후확률의 복잡도에 따라 파티클수를 적용시키도록 수행합니다.

 

  이번과 이전에 살펴본 필터 알고리즘은 대부분의 확률적 로봇 공학 알고리즘의 기반 기술로 여기서 살펴본 기술은 오늘날 사용되는 상당히 많은 알고리즘들에서 볼 수 있습니다.