집밖은 위험해

전달 함수 transfer function

- 선형, 시불변, 미분 방정식인 시스템이나 입출력 요소들간 관계의 특성을 구하기 위해 사용

- 선형, 시불변, 미분방정식 시스템의 전달 함수는 초기 상태가 0으로 가정 시, 출력의 라플라스 변환과 입력의 라플라수 변환의 비율로 구함

전달함수 구하기

- 아래의 식은 선형 시불변 시스템에서의 미분 방정식으로 y는 시스템 출력, x는 시스템 입력

$a_0a_0 \overset{(n)}{y} + a_1\overset{(n-1)}{y} + . . . + a_n y = b_0 \overset{(m)}{x} + b_1 \overset{(m-1)}{x} + . . . + b_m x$

- 전달함수는 초기상태가 0일때,  출력의 라플라수 변환과 입력의 라플라스 변환의 비율로 구함

전달함수 = G(s) = $\frac{L[output]} {L[input]} |_{0 초기상태}$

              = $\frac{Y(s)} {X(s)}$ = $\frac{b_0 s^{m} + b_1 s^{m-1} + . . . + b_m} {a_0 s^{n} + a_1 s^{n-1} + . . . + a_n}$

- 전달 함수 개념을 사용하면, s 영역에서 대수 방정식으로 시스템 동역학을 나타낼수 있습니다.

- 이 전달함수의 분모가 n차인 경우 이를 n차 시스템이라 부릅니다.

전달함수 사용시 고려사항

- 전달 함수는 선형, 시불변, 미분 방정식 시스템에서 사용할수 있지만 많이 사용되고 있습니다.

- 전달 함수를 사용시에 아래와 같은 고려사항들이 있습니다.

 1. 시스템의 전달함수는 단일 입력 변수에 대한 단일 출력 변수에 관한 미분 방정식을 나타내는 수학적 모델입니다

 2. 전달 함수는 시스템 고유의 성질로 입력의 크기나 성질에 독립적입니다.

 3. 전달함수를 알고 있다면, 다양한 입력에 대한 응답으로 시스템의 성질을 알수 있습니다.

 4. 전달 함수는 입력과 출력에 관한 요소들을 가지고 있으나 시스템의 물리적 구조에 대한 정보는 없습니다.

'

임펄스 응답

-초기 상태가 0일때, 단위 임펄스 입력에 대한 선형 시불변 시스템의 출력을 살펴봅시다.

- 단위 임펄스 함수가 입력으로 주어질때, 이 함수의 라플라스 변환은 1이므로 전달함수는 아래와 같습니다.

 Y(s) = G(s)

- 위 식에 대해 역 라플라스 변환을 수행하면 시스템의 임펄스 응답을 얻을수 있는데 G(s)에다가 역 라플라스 변환을 한것을 임펄스 응답이라 부르며, 임펄스 응답 g(t)는 선형 시불변 시스템에 단위 임펄스 입력을 준것에 대한 반응이라고 할수 있습니다.

$L^{-1} [G(s)] = g(t)$

제어 시스템과 수학적 모델링

- 수학 용어로 동역학 시스템을 모델링 할수 있어야함

- 이 시스템의 동역학적 특성을 분석할수 있어야 함.

동역학 시스템의 수학적 모델

- 시스템의 동역학을 나타내는 여러개의 방정식들로 정의.

- 하지만 시스템에대한 수학적 모델링은 하나가 아니라 다양한 방법으로 표현 가능

동역학 시스템의 종류

- 기계적 시스템

- 전기적 시스템

- 유체 시스템

=> 다 미분 방정식으로 표현

미분 방정식 구하기

- 각 시스템에 대한 물리적 법칙으로 얻을 수 있음

- 기계적 시스템의 경우 뉴턴 법칙

- 전기적 시스템에선 키르히호프의 법칙

수학적 모델

- 다양한 형태로 수학적 모델을 만들 수 있음.(어느 시스템이냐, 상황에 따라)

- 최적 제어 문제에선 상태 공간 표현법이 좋음

- 입력 신호에 대한 과도 응답이나 주파수 응답 분석,  선형, 시뷸변 시스템인경우 전달함수 모델이 좋음

간결함과 정확도

- 수학적 모델링을 구할때 모델을 간결하게 할지 정확하게 할지 절충해야하며, 간단하게 하기위해 시스템 물리적 특성일부를 무시해야함.

- 선형 수학적 모델링을 한다고 하면, 비선형적인 요소들과 파라미터들을 제거 필요

- 제거한 속성의 영향력이 작다면, 실제 물리적 시스템과 수학적 모델링 사이에서 차이가 크지않을것임

선형 시스템 linear system

- 중첩 superposition의 원리가 적용되는 시스템을 선형 시스템.

- 중첩의 원리는 서로 다른 두 변수를 동시에 주었을때 나온 응답과와 두 변수 개별 응답의 합이 동일한 경우.

- 선형 시스템은 여러 입력에 대한 응답을 단일 입력들의 응답으로 계산할수 있음.

=> 중첩의 원리를 사용해 복잡한 식을 간단히 해를 구할수 있는 선형 미분 방정식으로 바꿀수 있다.

선형 시불변 시스템과 선형 시변 시스템

- 시스템의 계수들이 상수이고, 독립 변수들로 이루어진 경우 미분 방정식은 선형.

- 선형 시불변 시스템 : 선형 시불변 미분 방정식을 요소하는 동역학 시스템

- 선형 시변 시스템 : 계수가 시간에 대한 함수인 미분 방정식으로 표현된 시스템

실제 물리적 시스템과 모델링 사이의 오차 제거

1. 가능한 에러 범위 설정

2. 이 범위를 넘지 않는 제어기 설계

   -> 설계된 제어기 시스템이 안정하다고 볼수 있음

=> 강인 제어 이론이라 함

강인 제어 이론 robust control theory

- 주파수 응답과 시간 영역에서의 방법을 둘다 사용

- 수학적으로 매우 복잡

용어들

1. 제어 변수, 제어 신호, 조정 신호

- 제어 변수 controlled variable : 관측하거나 제어하려는 상태나 값

- 제어 신호 control signal, 조정 신호 manipulated variable : 제어기를 사용하여 제어 변수의 값에 영향을 주는  값, 상태

- 제어 control : 시스템의 제어 변수 값을 관측하고, 목표 값으로 도달하도록 편차를 줄이는 제어 신호를 보내는 것

2. 플랜트

- 특정한 일을 수행하는 장비

- 플랜트로 우주선이나 화학 반응기 같은 물체를 제어할것임.

3. 프로세스

- 연속된 작업들 혹은 특정 결과를 얻도록 하는 일련의 변화 과정들

4. 시스템

- 특정한 목표를 이루기 위해 함께 동작하는 요소들의 모임

- 시스템은 물리적인 개념뿐만이 아니라 추상적인 개념으로도 사용될수 있음.

 * ex. 경제학에서 동적인 변화 현상

=> 물리학, 생물학, 경제학 같은 분야에서도 시스템이 사용될수 있음.

5. 요란 disturbance

- 시스템 결과에 악영향을 주는 신호

- 요란이 시스템 내부에서 발생 -> 내부 요란

- 시스템 외부에서 발생하여 입력으로 들어옴 -> 외부 요란

6. 피드백 제어 feedback control

- 요란이 존재할때 시스템의 출력과 기준 입력 사이 차이를 줄여주도록 하는 제어 작업

- 예측할수 있거나 알고 있는 요란은 시스템 내부에서 보상될수 있으므로 예측할수 없는 요란들이 입력으로 들어옴.

온도 제어 시스템의 예시

1. 전기 난로는 내부의 온도계로 (아날로그) 기온을  측정

2. 아날로그 기온은 AD 변환기로 디지털 온도로 변환

3. 디지털 온도는 인터페이스를 통해 제어기 입력으로 들어감

4. 입력된 디지털 온도는 기존에 입력으로 설정한 온도와 비교

5. 현재 온도와 기준 온도 사이의 차이가 발생 시, 제어기는 히터에 신호를 보냄

6. 증폭기 amplifier로 신호가 증폭되고, 릴레이를 통해 전기 난로가 목표 값에 도달하도록 제어됨.

피드백 제어 시스템

- 출력과 기준 입력을 비교하고, 그 오차를 제어에 사용하는 시스템

  ex. 방 온도 제어

- 사람의 신체와 같이 공학 이외 분야에서도 피드백 제어가 많이 이용됨.

폐루프 시스템 closed loop control system

- 피드백 제어 시스템은 폐루프 제어 시스템이기도 함

- 폐루프 제어 시스템에서 오차 신호로 구동함.

- 오차를 줄이도록 제어기가 동작하여 시스템 출력이 원하는 값에 도달

=> 즉, 폐루프 제어는 시스템 오차를 줄이도록 피드백 제어 동작을 수행한다고 할 수 있음.

개루프 제어 시스템 open loop control system

- 시스템 출력이 제어 동작에 영향을 주지 않는 시스템

 => 개루프 시스템의 출력은 측정하지 않음 + 입력과 비교해서 피드백 되지 않음.

 * ex. 식기 세척기, 세탁기 등(출력을 측정하지 않고, 그냥 세척만 함)

폐루프 시스템과 개루프 시스템의 차이

- 폐루프 시스템의 장점은 피드백 제어를 사용하므로 시스템 응답이 외부 요란이나 내부 변화에 덜 민감

- 값싸고 정밀하지 않은 장치를써도 플랜트를 이용해 정확한 제어가 가능함, 개루프 시스템은 불가능함

- 개루프 시스템은 시스템 안정성이 주요 이슈가 아닌 경우 사용됨

- 시스템 안정성이 중요한 경우 폐루프가 사용. 오차를 줄여나가면서 진폭 변화와 상수 진동이 발생

개루프 시스탬의 장점

1. 만들거나 유지하기 쉽다

2. 폐루프보다 싸다

3. 안정성 문제를 고려안한다.

4. 출력 측정이 힘들때 편하다

개루프 시스템 단점

1. 요란이 생기거나 변화시 오차가 발생 -> 출력이 원해던 목표치와 달라진다

2. 일정한 퀄리티로 원하는 값을 유지하려면, 매번 재조정이 필요하다.

오늘날 사용되는 다양한 제어 이론들

- 고전 제어

- 현대 제어

- 강인 제어

자동 제어

- 공학 및 과학에서의 핵심 분야 중 하나

- 우주선 시스템, 로봇 시스템, 제조 시스템 등 다양한 산업 전반에서 사용

제어 이론의 역사

- 18세기 : 제임스 와트의 증기기관을 이용한 속도 제어

- 1922 : minorsky는 자동화 제어기 분야 연구. 시스템에 대한 미분 방정식으로 배의 안정성 유지되도록 구함

- 1932 : 나이퀴스트가 정현파 입력에 대한 개루프 시스템의 정상상태 응답으로 폐루프에서 안정성을 구하는 과정 설계

- 1940

    1. 보드 선도를 이용한 주파수 응답을 활용하여 성능 요구를 만족하는 선형 폐루프 제어기를 설계할수 있게됨.

    2. 압력, 온도등 제어하기 위한 PID 제어기가 산업 전반에서 사용됨

    3. 지글러와 니콜이 PID 제어기 튜닝 방법을 소개.

    4. 에반스가 루트 로커스 방법을 제안

- 1960 

   1. 디지털 컴퓨터가 만들어지면서 복잡한 시스템에 대한 시간 영역에서의 해석이 가능해짐.

   2. 현대에 들어와 복잡해진 제어기와 정밀도가 요구되는 일들을 다루기위함.

- 1960 ~ 1980

    1. 결정론적이고, 확률적인 시스템에 최적으로 제어하고, 복잡한 시스템에 적응해나가는 방법들이 연구됨

- 1980 ~ 1990

    1. 강인 제어에 대한 연구가 이루어짐.

고전 제어

- 주파수 응답과 루트로커스 방법은 고전 제어 이론의 핵심이되어 여러 성능 요구사항들을 지킬수 있었음.

- 하지만 고전 제어 이론은 단일 입력, 단일 출력 시스템에서만 사용가능

- 다중 입력, 다중 출력 시스템에서는 사용 불가

현대 제어

- 시스템 미분방정식의 시간 영역에 대한 해석을 기반

- 현실에 존재하는 제어 시스템을 수학적 모델링 하여 활용

-실제 시스템과 모델 사이의 오차가 존재하며, 이 오차에 시스템 안정성이 영향을 받음

1. 제어 시스템 소개

2. 시스템 수학적 모델링

3. 상태 변수 모델

4. 궤환 제어 시스템 특성

5. 피드백 제어 시스템 성능

6. 선형 피드백 시스템의 안전성

7. 루트 로커스 방법

8. 주파수 응답 방법

9. 주파수 영역에서의 안정성

10. 피드백 제어기 설계

11. 상태 변수 피드백 시스템 설계

12. 강인한 제어 시스템

13. 디지털 제어 시스템

1. 제어시스템 소개

 1.1 소개

 1.2 자동화 제어에 대한 역사

 1.3 제어 시스템의 예시

 1.4 엔지니어링 설계

 1.5 제어 시스템 설계

 1.6 기계적 시스템

2. 시스템 수학적 모델

 2.1 소개

 2.2 물리적 시스템에대한 미분 방정식

 2.3 물리적 시스템을 선형 근사화 하기

 2.4 라플라스 변환

 2.5 선형 시스템 전달함수

 2.6 블록 다이어그램

 2.7 signal flow 그래프 모델

 2.8 디자인 예시

 2.9 제어 설계 프로그램을 이용한 시스템 시뮬레이션

3. 상태 변수 모델

 3.1 소개

 3.2 동적 시스템의 상태 변수

 3.3 상태 미분 방정식

 3.4 signal-flow 그래프와 블록 다이어그램 모델

 3.5 signal flow 그래프와 블록 다이어그램을 대신할 방법들

 3.6 상태 방정식을 전달 함수로 변환하기

 3.7 시응답과 상태 전이 행렬

 3.8 디자인 예시

 3.9 제어기 설계 소프트웨어를 사용한 상태 변수 모델 해석

4. 피드백 제어 시스템 특성

 4.1 소개

 4.2 에러 신호 해석

 4.3 파라미터 변동에 따른 제어 시스템의 민감도

 4.4 피드백 제어 시스템에서 요란  신호

 4.5 제어기 과도 응답

 4.6 정상 상태 응답

 4.7 피드백 비용

-- 생략---

 기후 변화, 방사능 유출같은 세계적인 문제들로 인해, 그리고 에너지 소모를 줄이기 위해 많은 공학자들이 세로운 제어기 설계 방법을 찾으려고 노력하고 있습니다.

 그러한 설계 방법을 그린 엔지니어링 green engineering이라고 부르며, 그린 엔지니어링의 목표는 오염을 줄이고, 사람에게 유해를 줄이도록 하는 제품을 만드는것이 목표라 할수 있겠습니다. 이러한 그린 엔지니어링의 원칙에 따라서 피드벡 제어 시스템의 유용함을 보여드리고자 합니다.

 지구 온난화 문제와 오염을 줄이기 위해서는 환경 모니터링 시스템을 늘리고, 품질도 높여야만하는데요. 한 가지의 예시로 외부 환경을 관측하는 무선으로 이동하면서 감지하는 플랫폼들이 있습니다. 보내지는 전력과 전압의 변화 등을 측정하는것도 그러한 예시라고 할수 있겠습니다.

 수많은 그린 엔지니어링 시스템들을 다루기 위해서는 신중하게 전류와 전압을 보아야만 하는데요. 전력 변환기는 전력 공급망 상에서 흘러가는 다양한 크기의 전류를 측정하고 모니터링을 할수 있어야 하며, 여기서 사용되는 센서들은  측정치가 제어 시스템이 적절한 동작을 하는데 필요한 정보들을 제공하므로 제어 시스템의 핵심 요소라고 할수 있습니다.

 그린 엔지니어링에서의 제어시스템의 역활은 자동화와 정밀화 수준이 높아만 가면서 세계적으로 큰 역활을 하게 될겁니다. 그래서 이후에는 풍력 발전기같은 그린 엔지니어링의 제어나 태양의 밝기가 변화하는 사이에서도 전력 생산량을 최대로 하는 태양광 발전기 피드벡 제어 시스템을 설계해보겠습니다.

 제어 시스템으로 개발할수 있는 다른 재밌는 것으로 IoT가 있습니다. 여기서 IoT란 Internet of Things의 약어로 많은 전자 장치들이 연결된것을 말합니다. IoT 네트워크 상에서 수백만의 장치들은 각자의 컴퓨터가 내장되어 인터넷에 연결 됩니다. 이러한 연결된 장비들을 제어해보는것은 제어 공학도에게는 신나는 일이라 할수 있을것 같습니다.

 그래서 제어 공학은 재미있고, 도전할만한 분야라고 생각합니다. 제어 시스템은 본래 여러 분야가 혼합된 학문으로, 엔지니어링 커리큘럼 상에서 핵심역활을 한다고 할수 있겠습니다. 이 분야에서는 수학적 배경 지식이 많이 필요하므로, 정리와 증명과 같이 이론적인 부분들도 다루긴 할겁니다. 하지만 최종 목표는 현실에서 동작가능한 제어기를 설계하는 것이므로, ad-hoc(임기 응변)적인 방법과 직관력으로 피드백 제어기를 설계해 보겠습니다.

 앞으로 배우는데 있어서 가장 중요한 것은 과거에 다루었던 문제와 이에 대답을 다시 찾아보는것이라 할수 있겠습니다. 그래서 학생들이 수많은 문제들과 해결방안 그리고, 수십년 전에 있어왔던 해결 방안에 대해서 배워보아야 합니다. 옛날의 학습 방법에서 학생은 이러한 문제를 고민하지 않고 단순히 과제들을 풀기만 했었습니다. 하지만 이 과정을 통해서 배우는 사람들이 이론적인 어려움을 줄이고 창의성과 즐거움을 찾길 희망하고 있습니다.

 이제 피드벡 제어 이론의 구조에 대해서 살펴보고, 다양한 흥미로운 주제들을 드리고자 합니다. 그래서 여러분들이 피드벡 제어 시스템 이론과 실습에 도움이 되었으면 좋겠습니다.