제어시스템 - 5. 전달함수, 임펄스 응답

전달 함수 transfer function

- 선형, 시불변, 미분 방정식인 시스템이나 입출력 요소들간 관계의 특성을 구하기 위해 사용

- 선형, 시불변, 미분방정식 시스템의 전달 함수는 초기 상태가 0으로 가정 시, 출력의 라플라스 변환과 입력의 라플라수 변환의 비율로 구함

 

 

전달함수 구하기

- 아래의 식은 선형 시불변 시스템에서의 미분 방정식으로 y는 시스템 출력, x는 시스템 입력

 

$a_0a_0 \overset{(n)}{y} + a_1\overset{(n-1)}{y} + . . . + a_n y = b_0 \overset{(m)}{x} + b_1 \overset{(m-1)}{x} + . . . + b_m x$

 

- 전달함수는 초기상태가 0일때,  출력의 라플라수 변환과 입력의 라플라스 변환의 비율로 구함

 

전달함수 = G(s) = $\frac{L[output]} {L[input]} |_{0 초기상태}$

              = $\frac{Y(s)} {X(s)}$ = $\frac{b_0 s^{m} + b_1 s^{m-1} + . . . + b_m} {a_0 s^{n} + a_1 s^{n-1} + . . . + a_n}$

 

- 전달 함수 개념을 사용하면, s 영역에서 대수 방정식으로 시스템 동역학을 나타낼수 있습니다.

- 이 전달함수의 분모가 n차인 경우 이를 n차 시스템이라 부릅니다.

 

 

 

 

전달함수 사용시 고려사항

- 전달 함수는 선형, 시불변, 미분 방정식 시스템에서 사용할수 있지만 많이 사용되고 있습니다.

- 전달 함수를 사용시에 아래와 같은 고려사항들이 있습니다.

 1. 시스템의 전달함수는 단일 입력 변수에 대한 단일 출력 변수에 관한 미분 방정식을 나타내는 수학적 모델입니다

 2. 전달 함수는 시스템 고유의 성질로 입력의 크기나 성질에 독립적입니다.

 3. 전달함수를 알고 있다면, 다양한 입력에 대한 응답으로 시스템의 성질을 알수 있습니다.

 4. 전달 함수는 입력과 출력에 관한 요소들을 가지고 있으나 시스템의 물리적 구조에 대한 정보는 없습니다.

 

'

 

임펄스 응답

-초기 상태가 0일때, 단위 임펄스 입력에 대한 선형 시불변 시스템의 출력을 살펴봅시다.

- 단위 임펄스 함수가 입력으로 주어질때, 이 함수의 라플라스 변환은 1이므로 전달함수는 아래와 같습니다.

 

 Y(s) = G(s)

 

 

- 위 식에 대해 역 라플라스 변환을 수행하면 시스템의 임펄스 응답을 얻을수 있는데 G(s)에다가 역 라플라스 변환을 한것을 임펄스 응답이라 부르며, 임펄스 응답 g(t)는 선형 시불변 시스템에 단위 임펄스 입력을 준것에 대한 반응이라고 할수 있습니다.

 

$L^{-1} [G(s)] = g(t)$