확률적 로봇 공학 - 6.4 거리계에 대한 우도 필드

6.4 거리계에 대한 우도 필드 likelihood fileds for range finder

6.4.1 기본 알고리즘

 거리계의 기하학과 물리계에 크게 연관된 빔 기반 센서 모델은 2가지 결점을 가지고 있씁니다.

 

1. 평활도 부족 lack of smoothness

- 작은 장애물들이 많이 흩어진 환경에서, 분포 p($z_{t}^{k}$ | $x_t$, m)는 $x_t$에서 보다 매우 덜 평활할 수도 있습니다. 예를들어 컨퍼런스룸 처럼 의자와 테이블이 많은 공간을 생각해보면, 1장에서 보았던 로봇은 장애믈의 다리들을 감지하겠지만 로봇의 자세 $x_t$가 약간 변화면 센서 빔의 정확한 거리에 큰 영향을 줄겁니다. 그결과 관측 모델 p($z_{t}^{k}$ | $x_t$, m)는 크게불연속적으로 됩니다.이러한 평활도 부족은 2개의 문제를 발생시큰ㄴ데,첫번째는 신뢰도 근사값이 올바른 상태를 놓칠수 있는 위험이 있고, 급격히 다른 사후확률 우도를 가지게 될것입니다. 이 자세는 근사시 제약을 시키나 사후확률에 있어 에러를 증가시켜버립니다. 두번째는 정확한 상태를 찾기 위해 언덕 오르기 방법 hil climbing methods들은 비평활 모델에서 많은 수가 지역 최대가 되기 때문에, 지역적 최소치가 되기 슆습니다.

 

2. 계산 복잡도 Computational complexity

- 각 개별 센서 측정값 $z_{t}^{k}$에 대한 p($z_{t}^{k}$ | $x_t$, m)의 계산에는 비용이 큰 광선 투사도 포함됩니다. 위에서 봤지만 이 문제는 자세에서 이산 그리드로 거리를 전처리하여 완화할수 있으며, 더 빠르게 동작할수 있게 됩니다. 하지만 매우 큰 3차원 공간인 경우 결과는 매우 커지므로 거리 사전계산도 큰  계산비용과 추가적인 메모리를 필요로 하게 됩니다.

 

 그래서 대안으로 이 문제를 극복한 우도 필드 모델 likelihood field model이라는 방법에 대해서 소개하겠습니다. 이 몰델은 물리적으로 설명하기에는 부족한데, 이는 물리적인 센서 모델에 대해 조건부 확률 계산이 필요하지 않는 애드훅 알고리즘입니다. 하지만 이 방법은 잘 동작하여, 구한 사후확률은 어지러운 환경에서 더 부드럽고 계선에있어서도 효율적입니다.

 

 핵심 아이디어는 센서 스캔 $z_t$의 끝 점을 지도의 전역 좌표계 상에 사영시키는 것인데, 각각의 센서 측정치 $z_t^k$를 지도 m의 전역 좌표계상으로 사영하기 위해서 로봇의 좌표시스템, 센서 빔 $z_k$가 어디를 가리키는지, 어디에 존재하는지 등에 대해 알아야 합니다. 시간 t에 대한 로봇의 좌세 $x_t$ = (x y $\theta$$)^T$라 합시다. 이를 2차원 세계에서 본다면 로봇의 고정된 위치에서 센서의 상대적인 위치는 지역 좌표계로 ($x_{k, sens}$, $y_{k, sens}$$)^T$라 하고, 로봇 해딩 방향에 대한 상대적인 센서 빔의 방위를 $\theta_{k, sens}$라 하겠습니다. 이 값들은 센서에 대한 것으로 측정치 $z_t^k$의 끝점은 다음의 변환과정을 통해 전역좌표계 상에 맵핑이 됩니다.

 

 이 좌표계는 센서가 장애물을 감지할때만 의미가 있으며 만약 센서 거리가 최대치에 도달한다면 $z_k^t$ = $z_{max}$, 이 좌표는 물리적 세계에서 아무런 의미가 없다고 볼수 있습니다(측정 정보가 존재한다 하더라도). 우도 필드 측정 모델 likelihood field measurement model은 단순하게 최대 거리 값을 버리게 됩니다. 

 

 이전에 빔 모델에서 설명했던것과 마찬가지로 노이즈와 불확실성의 3가지 원인들에 대해 살펴보겠습니다.

 

1. 측정 노이즈 measurement noise

- 측정 과정에서 발생한 노이즈는 가우시안으로 설계할 수 있습니다. x-y 공간에서 이는 지도상에서 장애물을 찾은 경우도 포함하는데, dist는 지도 m에서 가까운 물체와 관측 좌표 ($x_{z_{t}^{k}}$, $y_{z_{t}^{k}}$$)^T$ 사이의 유클리디안 거리 euclidean distance를 의미합니다. 이 센서 측정 확률은 다음의 0평균 가우시안으로 센서 노이즈를 사용하여 정리할 수 있습니다.

 

그림 6.7 (a) 3 장애물이 존재하는 환경 예시(회색). 로봇은 바닥에 있으며 점선을 따라 측정 $z_t^k$를 가집니다. 

(b) 장애물 환경에 대한 우도 필드 : 검은 공간일수록 장애물을 감지할 확률이 줄어듦. 확률 p($z_t^k$ | $x_t$, m)에 대한 센서 빔은 그림 6.8에서 볼수 있음.

 

 그림 6.7a는 지도를 그림 6.7b는 2차원 상 관측 점 ($x_{z_{t}^{k}}$, $y_{z_{t}^{k}}$$)^T$에 대한 가우시안 우도를 보여주고 있습니다. 밝은 장소일수록 거리계가 물체가 존재한다고 측정할 가능성이 높은 장소가 됩니다. 밀도 $p_{hit}$는 센서 축과 우도 필드를 교차시킴으로서 얻을수 있는데, 여기서 센서 축은 그림 6.7의 점선입니다. 결과 함수는 그림 6.8a에서 볼 수 있습니다.

 

 

그림 6.8 (a) 그림 6.7의 상황에서 측정 $z_t^k$의 함수로 확률 $p_{hit}$($z_t^k$). 센서 빔은 점 $o_1$, $o_2$, $o_3$ 근처에서 장애물을 만남. (b) 그림 6.7 상황에서 얻을수 있는 센서 확률 p($z_t^k$ | $x_t$, m)으로 두개의 정규 분포를 추가하여 구할 수 있습니다.

 

2. 실패

- 최대 거리에서 구분되는 우도치를 갖는다고 가정했을때, 전에 했던것 처럼 이를 점 질량 분포 $p_{max}$로 설계할수있습니다.

 

3. 임의 측정 random measurement

- 마지막으로 균일 분포 $p_{rand}$를 임의의 노이즈를 설계하기 위해 사용될 수 있습니다.

 

 빔 기반 센서 모델처럼, 구하려는 확률 p($z_t^k$ | $x_t$, m)는 아래의 새 분포를 합쳐 구하며, 여기서도 가중치 $z_{hit}$, $z_{rand}$, $z_{max}$를 사용합니다.

 

 

 그림 6.8b는 측정 빔에 대한 결과적인 분포인 p($z_t^k$ | $x_t$, m)의 예시를 보여주는데 그림 6.8a에서 본 분포 $p_{hit}$와 분포 $p_{max}$, $p_{rand}$가 합쳐진것을 알 수 있습니다. 새로운 센서 모델을 사용하는 경우 여기서 사용되는 파라미터를 조절하여 바꿀수 있습니다. 이전 처럼 직접 보면서 할 수도 있고 ML 추정기를 사용하여 학습할수도 있습니다. 6.7b같은 표현을 우도 필드 likelihood filed라 하며, 전역 x-y좌표계의 함수로서 장애물 감지의 우도를 나타내고 있습니다.

 

표 6.3 가장 가까운 물체까지의 유클리디안 거리를 사용하여 거리계의 우도를 계산하는 알고리즘. 함수 prob($dist^2$, $\sigma_{hit}^{2}$)는 분산이 $\sigma_{hit}^2$를 가지는 0평균 가우시안 분포를 따르는 거리의 확률을 계산합니다.

 

 표 6.3은 우도 필드를 사용하여 측정 확률을 계싼하는 알고리즘을 보여주고 있습니다. 이는 센서 빔에서 서로다른 노이즈들 사이에 독립을 가정할때 p($z_t^k$ | $x_t$, m)의 각각의 값을 곱했던 것과 비슷하게 볼수 있습니다. 4번째 줄에서 센서가 만약 최대치가 된다면 이 값을 무시하겠다는 의미이고, 5 ~8번째 줄은 특이한 경우들을 처리하게 됩니다. 여기서 x-y 공간에 존재하는 가장 가까운 장애물까지의 거리를 계산하고(7번째 줄), 결과 우도를 8번째 줄에서 정규와 균일 분포를 합쳐서 계산합니다. (prob($dist^2$, $\sigma_{hit}^{2]$)는 분산이 $\sigma_{hit}^{2}$인 0평균 가우시안 분포를 따르는 $dist^2$의 확률을 계산하는 함수)

 

 우도 필드 거리계 모델 likelihood field range finder model 알고리즘에서 가장 큰 비용이 드는 작업은 7번줄의 지도에서 가장 가까운 물체를 찾는 것으로 이 탐색 속도를 높이기 위해선 룩업 테이블로 좌표계를 변환하여 측정 확률을 계산하는것으로 우도 필드에 대한 전계산이 유용합니다. 물론 이산 격자가 사용된다면, 룩업의 결과는 근사화 될것이고 잘못된 장애물의 좌표를 반환할 수도 있습니다. 하지만 확률 p($z_t^k$ | $x_t$, m) 영향은 일반적인 그리드에서 크지는 않습니다.