확률적 로봇공학 - 6. 2 지도

6.2 지도

 측정 값 생성 처리를 표현하기 위해 측정 치가 만들어지는 주위 환경에 대해 명시하여야 합니다. 이 주위 환경에 대한 지도는 환경에 대한 물체들의 리스트로, 지난 챕터에서 로봇 동작 모델을 개발할 때 점유된 경우를 고려하면서 살펴보았었습니다. 지도 m은 다음의 성질을 가지는 주위 환경에 대한 물체들의 목록이 됩니다.

 

 여기서 N은 주위 환경을 나타내는 전체 물체들의 갯수이고 각각의 $m_n$은 1 <= n <=N 으로 명시됩니다. 이 지도는 인덱싱 되는 방법이 특징 기반 방법 feature based과 위치 기반 location based 방법 2가지가 주로 사용됩니다. 특징 기반 지도에서 n은 특징의 인덱스이고, $m_n$의 값은 해당 특징의 속성으로 특징의 카티지안 좌표를 포함합니다. 위치 기반 지도에서 n은 위치를 의미하며, 평면 지도에서 $m_n$ 대신 $m_{x, y}$로 지도의 요소로 나타냅니다. $m_{x, y}$는 좌표계 (x, y)의 값을 의미합니다.

 

 두가지 타입의 지도 다 장점과 단점을 가지고 잇는데, 위치 기반 지도는 양적으로 volumetric, 어느 공간에 대해서도 나타낼 수 있습니다. 양적인 지도는 주위 환경에 대한 물체의 정보를 재공할 뿐만 아니라 물체의 존재 여부 정보도 포함하는데, 이는 특징 기반의 지도와는 상당히 다릅니다.

 

 특징 기반의 지도는 특정 장소의 환경 형태만 명시하는데, 물체의 위치만 지도상에 존재하게 됩니다. 특징 표현법은 감지한 결과와 같은 물체들의 자세를 조절하기가 쉬워, 이러한 이유로 로봇의 지도 작성 영역에서 자주 사용됩니다.  이 책에서는 두가지 지도에 대해 다루어 볼것이고 한가지 표현법에서 다른 방법으로 바꾸어서 살펴보겠습니다.

 

 고전적인 지도 표현 방법을 점유 격자 지도 occupancy grid map라 부르는 방법이 있는데 이에 대해서 9장에서 살펴보겠습니다. 점유 격자 지도는 위치 기반으로 x-y 자표계 각각에 2진 점유 값을 할당하여 이 위치가 물체가 존재하는지 아닌지를 나타냅니다. 점유 격자 지도는 이동 로봇 주행에서 중요하며 점유하지 않은 공간에 대해 경로를 쉽게 찾아냅니다.

 

 이 책 전반에서 물리적 세계와 지도 사이에 차이를 살펴볼것이고, 기술적으로 센서 측정은 물체의 지도가 아니라 물리적 물체에 의해 발생합니다. 그러나 m이 주어질때 조건부 센서 모델을 사용하는것이 일반적이므로 지도가 주어질때 측정을 사용하는 방법들을 다루어 보겠습니다

 

6.3 거리 측정기의 빔 모델 beam models of range finders

 거리 측정기 range finder는 로봇 공학에서 주로 사용되는 센서로, 첫번째 센서 모델로 이 거리 측정기의 물리적 모델을 근사시키겠습니다. 거리 측정기는 근처에 존재하는 물체 까지의 거리를 측정하며, 이 거리는 빔 형태로 측정되어 레이저 거리 측정기의 동작이나 초음파 센서 모델로 사용됩니다.

 

6.3.1 기본 측정 알고리즘 the basic measurement algorithm

 모델이 동작하도록 하기 위해서 우리가 만들 모델은 4가지 타입의 측정 에러들을 합쳐내야 합니다. 작은 측정 노이즈와 의도체 않은 물체에 의한 에러, 물체 감지 실패에 의한 에러, 임의의 알수 없는 노이즈로 구하려는 모델 p($z_t$ | $x_t$, m)은 그러므로 이 4가지 밀도를 합친것으로 이들은 각각의 특징적인 타입에 대응됩니다.

 

그림 6.2 거리 측정기 센서 모델의 구성 요소. 각각의 다이어그램의 수평 축은 측정치, 수직 축은 우도를 나타냅니다.

1. 거리와 지역 측정 노이즈 correct range with local measurement nosie

- 이상적인 경우 거리 측정기는 항상 물체까지의 올바른 거리를 측정할 겁니다. $z_{t}^{k*}$를 측정된 물체 $z_t^k$의 실제 거리라고 합시다. 위치 기반 지도에서 $z_{t}^{k*}$는 광선 투사로 ray casting 정해질 수 있고, 특징 기반 지도에서는 측정시 가장 가까운 특징을 찾음으로서 얻을 수 있습니다. 하지만 센서가 올바르게 가까운 거리를 측정했다면 여기서 이 값은 에러의 영향을 받습니다. 이 에러는 거리 센서의 제한된 해상도와 측정 신호가 지나가는 대기의 영향과 기타 등등으로 발생합니다. 이 노이즈는 평균이 $z_{t}^{k*}$이고표준편차가$\sigma_hit$인 좁은 가우시안 분포로 설계 할 수 있습니다. 이 가우시안을 $p_{hit}$라 하겠씁니다. 그림 6.2a는 $z_{t}^{k*}$ 값에 대한 가우시안 밀도 함수 $p_{hit}$를 보여주고 있습니다.

 

- 현실적으로 거리 센서로 측정한 값은 [0: $z_{max}$] 사이로 제한도기 때문에 $z_{max}$를 최대 감지 거리로 표기합니다. 그래서 측정 함수는 아래와 같이 주어지며 $x_t$, m이 주어질때 광선 투사를 통해 $z_{t}^{k*}$를 계산합니다.

 

 

 N($z_{t}^{k}$; $z_{t}^{k*}$ ; $\sigma_{hit}^{2}$)는 평균이 $z_{t}^{k*}$이고, 분산이 $\sigma_{hit}^{2}$인 단변수 정규분포로 아래와 같으며

 정규자 $\eta$는 다음과 같습니다.

 

 

 분산 $\sigma_{hit}$는 측정 모델의 내부적인 노이즈 파라미터로 이 파라미터 셋팅 방법에 대해서 아래에서 다루어보겠습니다.

 

2. 예상치 못한 물체들 unexpected objects

- 지도 m는 정적이지만 이동 로봇의 주위 환경이 동적인 경우, 지도에 포함되지 않은 물체들이 지도보다 비교할때 생각보다 짧은 거리들을 만들수도 있습니다. 움직이는 물체의 예시로 로봇과 동일한 공간에서 돌아다니는 사람이 될수 있고, 이러한 물체에 대처하기 위한 방법은 그들을 상태 백터에 포함시켜 위치를 추정하는 것입니다. 다른 방법으로 더 단순하게 그들을 센서 노이즈로 처리하면 됩니다. 센서 노이즈로 처리하는 경우 모델링 하지 않은 물체들은 $z_{t}^{k*}$보다 더 짧은 거리를 가지게 됩니다.

 

- 일반적으로 의도치 않은 물체의 측정 우도는 거리에 따라서 감소하는데 두 사람이 한 위치에 있으면 고정된 우도치가 보여질 겁니다. 한사람의 거리를 $z_1$, 다른 두번째 사람의 거리를 $z_2$라고 하고, $z_1$ < $z_2$라라고 가정해봅시다. 그러면 측정 $z_1$이 $z_2$보다 측정될 확률이 클겁니다. 첫번째 사람이 존재한다면 센서는 $z_1$을 측정할 것이지만 $z_2$를 측정하기 위해서는 첫번째 사람이 없어야만 합니다.

 

- 수학적으로 이러한 상황에서 거리 측정 확률을 지수 분포 exponential distribution으로 나타내는데, 이 분포의 파라미터 $\lambda_{short}$는 측정 모델의 내부 파라미터로 이 지수 분포의 정의에 따라 $p_{short}$($z_{t}^{k}$| $x_t$, m)에 대해 다음의 방정식을 얻을 수 있습니다.

 

- 이전 경우에서도 보았지만 지수 함수는 구간이 [0; $z_{t}^{k*}$]로 제한되므로 정규자 $\eta$가 필요하며, 이 구간에 대해 누적 확률은 다음과 같이 주어지므로

 

정규자 $\eta$의 값은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

- 그림 6.2b는 이 밀도 함수를 그래프로 표현한 것으로 밀도 함수는 거리 $z_{t}^{k}$에서 지수적으로 떨어집니다.

 

3. 실패

- 때때로 장애물들을 놓칠 경우가 있습니다. 예를들어 이는 초음파 센서가 기울어진 표면을 측정할때 자주 발생하는데, 레이저 거리 측정기가 빛을 흠수하는 물체나 검은 색을 감지하는 경우 또는 밝은 빛을 내는 물체를 측정하는경우도 이러한 실패가 발생합니다. 이 센서 실패의 결과는 최대 거리 측정 max-range measurement가 되어 센서는 측정 가능한 최대값 $z_{max}$를 반환합니다. 이러한 상황이 자주 발생하기 때문에 측정 모델에서 최대 거리 측정을 명시적으로 모델링 하는것이 필수적입니다.

 

- 이 경우에 $z_{max}$를 중심으로하는 점 질량 분포를 모델링 하겠습니다.

 

 

- 여기서 I는 매개 변수가 사실이면 1, 아니면 0을 반환하는 지시자 함수 입니다. 기술적으로 $p_{max}$는 확률 밀도 함수를 처리하지 않는데 이는 이산 분포를 따르기 때문입니다. 하지만 이 점을 걱정할 필요가 없는게 센서 측정을 다루는 수학적 모델이 밀도 함수가 존재하지 않더라도 영향을 받지 않습니다.(다이어 그램 상에 $p_{max}$를 밀도가 존재하지 않도록, $z_{max}$를 중심으로 하는 매우 낮은 균일 분포로 그렸습니다.)

 

4. 임의의 측정치 random measurements

- 거리 측정기는 때때로 알수없는 측정치를 측정하는데, 예를들어 소나 샌서는 벽을 벽에서 값이 튀거나 다른 센서와 크로스톡 영향을 받을때 알수없는 측정치 phatom readings를 만들어 냅니다. 이를 단순히 다루기 위해서 이런 측정치는 센서 측정 거리 전반 [0; $z_{max}$]에 대한 균일 분포를 사용하여 설계 할 수 있습니다.

- 그림 6.2d는 $p_{rand}$의 밀도 함수를 보여줍니다.

 

 이 내가지 서로 다른 분포들은 파라미터 $z_hit$, $z_short$, $z_max$, $z_rand$(이 파라미터들의 합은 1)를 가중치로 하여 합쳐지게 됩니다.

그림 6.3 측정 모델의 혼합 분포 의사 밀도

 이 각각의 밀도에 대한 선형 조합의 결과 밀도는 그림 6.3에서 보여주며, 점 질량 분포 $p_{max}$를 좁은 균일 분포로 나타내고 있습니다. 독자들은 4가지 기본 모델들의 특성들이 조합된 형태에서도 남아있는것을 확인할 수 있습니다.

 

표 6.1 거리 스캔 z_t의 우도 계산하는 알고리즘. 개별적인 거리 측정값 사이에 조건부 독립이 성립된다고 가정함.

 거리 측정 모델은 표 6.1의 빔 거리 측정 모델 beam range finder model 알고리즘을 통해 구현할수 있습니다. 이 알고리즘의 입력으로 거리 스캔 $z_t$와 로봇의 자세 $x_t$, 그리고 지도 m이 사용됩니다. 루프 밖인 2와 7번째 줄은 식 (6.2)에서 살펴보았던 개별적인 센서 빔 $z_{t}^{k}$의 우도를 곱한것이 됩니다. 4번째 줄은 특정 센서 측정치에 대해 노이즈 없는 거리를 광선 투사로 계산한 것이며, 5번째 줄에서 각각의 측정치 $z_{t}^{k}$의 우도가 식 (6.13)의 혼합 방법을 구현하여 계산됩니다. 모든 센서 측정치 $z_{t}^k$를 합친 후에 이 알고리즘은 결과 확률 p($z_t$ | $x_t$, m)을 반환하게 됩니다.