확률적 로봇공학 - 3 가우시안 필터

3 가우시안 필터

3.1 소개

 이번에는 중요한 재귀 상태 추적기 군인 가우시안 필터 gaussian filter을 설명하겠습니다. 역사적으로, 가우시안 필터는 일찍부터 연속 공간에서 베이즈 필터의 구현체로 여겨져 왔습니다. 이들은 수많은 결점들도 가지고 있지만 가장 많이 상용되고 있습니다.

 

 가우시안 기술들은 기본적으로 모두 다변수 정규 분포를 이용하여 신뢰도를 표현하고 있습니다. 다변수 정규 분포는 (2.4)에서 보았고 다시 적으면 아래와 같습니다.

 

 

 변수 x에 대한 밀도는 두가지 파라미터로 나타낼수 있는데 평균 $\mu$와 공분산 $\sigma$가 됩니다. 평균 $\mu$는 상태 x와 같은 차원인 벡터이며 공분산은 대칭이며 positive semidefinte인 이차 행렬이 됩니다. 공분산의 차원은 상태 x를 제곱한것과 같으며 공분산 행렬의 원소 개수는 상태 벡터의 원소에 이차적으로 됩니다.

 

 가우시안을 이용한 사후확률 표현은 중요한 영향을 끼쳤는데, 가장 중요한 것으로 가우시안은 단봉 형태이므로 단일 최대치를 가지고 있습니다. 그러한 사후확률은 로봇 공학에서 많은 추적 문제의 특성으로 사후확률은 적은 불확실성을 가진체 진짜 상태에 가깝게 됩니다. 가우시안 사후확률은 많은 구분가능한 가정들이 존재하는 전역 추정 문제에 있어서 낮은 성능을 보이는데 여기서 여러개의 사후확률들이 존재하기 때문입니다.

 

 가우시안의 평균과 공분산을 이용한 표현법을 모멘트 표현법 moments representation이라 하는데 이는 평균과 공분산이 확률 분포의 1, 2차 모멘트 이기 때문입니다. 정규 분포에서 다른 모든 모멘트들은 0이 됩니다. 이번 장에서 다른 표현 방법인 표준 표현법 canonical representation에 대해서 살펴보겠습니다. 모멘트 표현법과 표준 표현법 둘다 전단사 하는점에서 같으나, 직교적인 계산 특성들을 가지는 필터 알고리즘들로 유도합니다.

 

 이번 장에서 2가지 기본적인 가우시안 필터 알고리즘을 다루겠습니다.

 

- 3.2장에서 칼만 필터를 설명하겠습니다. 이는 선형 동역학, 측정 함수 문제에서 모멘트 표현법으로 베이즈 필터를 구현한 것입니다.

 

- 칼만 필터는 3.3장에서 비선형 문제를 다룰수 있도록 확장하는데 이를 확장 칼만 필터 extended kalman filter라 합니다.

 

- 3.4장에서는 정보 필터 information filter에 대해 설명하겠습니다. 이는 칼만 필터를 가우시안 표준 표현법으로 표현한 것입니다.

 

3.2 칼만 필터

3.2.1 선형 가우시안 시스템

 베이지안 필터 구현한 최고의 기술은 아마 칼만 필터(KF : Kalman Filter)일 것입니다. 칼만 필터는 1950년대에 루돌프 에밀 칼만이 만들었으며 선형 시스템의 필터링과 예측을 수행합니다. 칼만 필터는 연속 상태에서 신뢰도를 계산을 하며, 이산 이나 하이브리드 상태 공간에 적용할수는 없습니다.

 

 칼만 필터는 모멘트 표현법으로 신뢰도를 나타내는데 시간 t일때, 신뢰도는 평균 $\mu_t$, 공분신은 $\Sigma_t$가 되며, 사후확률은 마르코브 가정을 따르는 베이즈 필터에 다음의 3가지 성질을 가지고 있습니다.

 

1. 다음 상태 확률 p($x_t$ | $u_t$, $x_{t-1]$)은 반드시 가우시안 노이즈가 추가된 선형 함수여야 하며 다음의 식으로 나타낼 수 있습니다.

 여기서 $x_t$와 $x_{t-1}$은 상태 벡터, $u_t$는 제어 벡터이며 이 표기법에서 이러한 벡터는 수직 벡터로 아래의 형태로 이루어 집니다.

 

 $A_t$, $B_t$는 행렬로 $A_t$는 크기가 n x n인 2차 행렬로 n은 상태 백터 $x_t$의 차원이 됩니다. $B_t$는 n x m인 크기로 m은 제어 벡터 $u_t$의 차원이 됩니다. 상태와 제어 벡터를 각각 $A_t$와 $B_t$에 곱하여 상태 전이 함수는 이 매개 변수에 대해 선형이 됩니다. 그래서 칼만 필터는 선형 시스템 동역학을 가정합니다.

 

  식 (3.2)의 변수 $\varepsilon_t$는 가우시안 랜덤 백터로 상태 전이에서 노이즈가 됩니다. 이는 상태 벡터와 동일한 차원이며, 평균은 0 공분신을 $R_t$로 표기합니다. 식 (3.2)의 상태 전이 확률의 형태를 선형 가우시안이라 하며 가우시안 노이즈가 추가된 매개변수에 대해 선형이 됩니다.

 

 식 (3.2)는 상태 전이 확률 p($x_t$ | $u_t$, $x_{t-1}$)을 정의하며 이 확률은 식 (3.2)를 다변수 정규분포 식 (3.1)의 정의에 대힙하여 구할 수 있습니다. 사후확률 상태의 평균은 $A_t x_{t-1}$ + $B_t u_t$이고, 공분산은 $R_t$가 됩니다.

 

2. 측정 확률 p($z_t$ | $x_t$)는 가우시안 노이즈가 추가된 선형이여야 합니다.

 

 

 여기서 $C_t$는 크기가 k x n인 행렬로 k는 측정 벡터 $z_t$의 차원이 됩니다. 벡터 $\delta_t$는 측정 노이즈로 $\delta_t$의 확률 분포는 평균이 0이고 공분산이 $Q_t$인 다변수 가우시안이 됩니다. 측정 확률은 그래서 다음의 다변수 정규 분포를 따르게 됩니다.

 

  3. 마지막으로 초기 신뢰도 bel($x_0$)은 정규 분포여야 합니다. 그래서 이 신뢰도의 평균과 공분산을 $\mu_0$, $\Sigma_0$로 표기하겠습니다.

 

 

 이 세가지 가정을 통해 사후확률 bel($x_t$)는 항상 가우시안이 됩니다.