4. 복소수
허수와 복소수
허수와 위상의 관계
- j를 곱하면 90도 전진. -j를 곱하면 90도 지연
-> 허수 j로 위상을 표현 가능
|Z|
- Z는 임피던스(교류 저항의 합)
- Z = 저항 R + 리액턴스 X[유도 리액턴스 X_L + 용량 리액턴스 X_C]
- |Z|는 저항의 크기
관련 역사
- 1748년 오일러가 오일러의 공식을 발표
- 가우스는 복소 평면을 제안
- 1886년 영국의 헤비사이드는 교류회로 계산 시 복소수 사용을 제안
- 1893 영국의 케넬 리가 임피던스를 복소수로 나타내어 계산 할수 있는 것을 증명
- 같은 해 미국의 슈타인츠가 허수 j를 사용해 교류 회로를 계산
오일러 식
지수 함수
- exp = exponential = 지수
- 산각 함수를 지수함수로 변환하여 지수 계산이 가능해짐
교류 전압의 식 변환
지수 함수의 복소 평면 상 표현
직교 형식과 극 형식
- 벡터가 가리키는 점은 직교/극 형식을 통해 나타 낼 수 있음.
- 직교 형식 : 좌표를 지정
- 극 형식 : 각도를 이용해 표현
복소 벡터의 표시 방법
- 직교 형식 : 직교 좌표
- 극 형식 : 극 좌표, 삼각 함수, 지수 함수
복소수 계산
- 공역 복소수
- 복소수 편각
- 복소수 절댓값
- 복소수 연산
공역 복소수
- 실수축 중심으로 대칭 관계
복소수의 편각
- 복소수의 편각은 위상 각을 의미
- arg는 argument의 약어로 아크로 읽음.
복소수의 노름(절댓 값)
- 절댓값 : 복소수나 실수 등에서 사용.
- 노름 : 수 뿐만 아니라 공간에서도 적용.
RLC 회로의 임피던스를 구하여 전압과 전류의 관계를 벡터 도로 나타내자.
미분방정식을 이용한 풀이
jw의 미분 적분 치환
j의 곱의 의미
- j를 곱한다 = 위상 90도 전진 -> 미분
- -j를 곱한다 = 위상 90도 지연 -> 적분
단상 교류와 3상 교류
- 단상 교류 : 전압이나 전류의 파형이 1개인 교류. ex) 가정 콘센트
- 3상 교류 : 전압/전류 파형이 3개인 교류. ex) 공장 전원, 전봇대 전선
3상 교류의 장점
- 전력 효율이 좋음
- 전봇대 변압기에서 단상 교류로 변환
3상 교류와 회전 벡터
- 단상 교류를 회전벡터로 바꾼것 처럼 3상 교류도 회전 벡터 3개로 표현 가능
- 각 전류 끼리의 위상은 120도. 어느 순간에든 전류의 합은 0이 된다.
3상 교류의 회로도
- I_a + I_b + I_c에 흐르는 전류는 0이므로 다음과 같이 정리 가능
- 전봇대 3줄 송전선에 해당
5. 교류 회로
동조
- 특정 주파수의 골라 잡는 것(ex. 라디오)
- 코일과 콘덴서를 조합하여 만듬
* 유도 리액턴스는 주파수에 비례, 용량 리액턴스는 주파수에 반비례
공진 주파수
- 동조점 때의 주파수
- 711KHz 방송을 듣는다면 이 주파수가 공진주파수가 되도록 조절하면 됨
-> 공진 주파수에서 저항은 최소, 전류는 최대 | but 나머지 주파수 대의 저항은 커짐
가변 콘덴서
- 라디오에서 사용
- 콘덴서의 캐패시턴스(= 전기 용량)을 바꿈
-> 콘덴서의 용량 변경 -> 용량 리액턴스 변경 -> 공진 주파수 변경
RLC 회로의 공진 주파수 f를 구하시오
- 공진 주파수 f는 임피던스 z가 최소가 되는 지점
1. 임피던스 z 는 저항 R + 유도 리액턴스 X_l + 용량 리액턴스 X_c
2. 임피던스 크기를 구한 후 wL이 가장 작은 시점의 주파수를 찾으면 된다.
증폭
- 동조로 얻은 특정 주파수 신호를 더 크게 만듬
- 트랜지스터를 이용 -> 전자회로
- 이전에 본 RLC 회로는 전기 회로
전자 회로
- RLC 외 다이오드나 트랜지스터 등 과같은 반도체 소자를 이용한 회로
- 다이오드 : 한 방향으로만 전류가 흐르게 함.
- 트랜지스터 : 증폭 또는 전류가 흐르게하는 스위치 역활
동조 증폭 회로
트랜지스터
- E(이미터), B(베이스), C(콜렉터) 3 단자로 구성
- 이 단자를 이용해 증폭
증폭 원리
1. 회로에 전압을 주면 베이스-이미터 사이로 전류가 흐름 -> 베이스 전류
2. 베이스 전류가 흐르면 콜렉터-이미터 사이 전류도 흐름 -> 콜렉터 전류
* 콜렉터 전류는 베이스의 몇십~몇백배의 전류 => 증폭
전류 증폭률
- 전류 증폭률 = 콜렉터 전류(출력 전류) / 베이스 전류(입력 전류)
* 임피던스, 주파수 특성, 전류 증폭률 등을 구할 때 전자 회로에서 계산이 힘듬
-> 등가 회로 이용
* 주파수 특성 : 주파수와 임의의 물리량의 관계
등가 회로 1
- 전자 회로의 트랜지스터 등을 RLC나 전원으로 치환하여, 전기회로 처럼 바꾼 회로
이상 전류원
- 전류를 임의로 발생시키는 장치
등가 회로 2
- 왼편은 입력 전류, 우측은 출력 전류로 나뉨
- 각 각의 전류를 구하면 전류 증폭 률을 구할 수 있음.
등가 회로의 전류 증폭률
공진 주파수와 전류 증폭률의 관계
- 공진 주파수 일때 전류 증폭률이 최대
라디오 방송 시 동작 과정
1. 다이얼 돌림
2. 공진 주파수를 맞추도록 가변 콘덴서가 움직임
3. 공진 주파수일 때 임피던스(교류 저항)이 최소가 되고, 전류는 최대 == 전류 증폭률도 최대
가변 콘덴서의 범위를 구하라
- 동조 증폭기에서 AM 방송을 수신할 수 있도록 가변 콘덴서 C가 잡을수 있는 범위를 설정하자.
- L = 1[mH], 540[kHz] < f < 1600[kHz]
라디오 수신 한다 -> 전류 증폭률이 최대가 된다. == 임피던스가 최소가 된다.
라디오 원리
1. 안테나에서 전파 수신
2. 동조 증폭회로로 선택 된 주파수 증폭
3. 복조 회로에서 전기 신호를 음성 신호 추출
4. 저주파 증폭 회로가 음성 신호를 들릴 만큼 증폭