계산 이론 - 0.2 수학적 용어와 터미놀로지

0.2 수학적 용어와 터미놀로지

- 수학 관련 분야에서 사용하는 기본적인 수학적 도구, 용어 등을 살펴보겠습니다.

 

 

0.2.1. 집합 set

 집합은 대상들의 그룹으로 집합에서 사용하는 대상이란 숫자, 심볼, 다른 집합이 될수 있습니다. 집합에서 사용하는 대상을 원소, 요소 element 나 맴버 member라고 부르기도 합니다 집합은 다양한 방법으로 나타낼수 있는데요.

 

 가장 흔하게 사용하는 방법은 집합의 원소들을 브레이스안에다가 나열하면 됩니다. 어느 집합이 원소 7, 21, 57을 가지고 있다면 아래와 같이 정리할수 있습니다.

 

S = {7, 21, 57}

 

 $\in$, $\notin$은 집합의 원소와 집합의 원소가 아닌것을 나타내는 심볼로, 7 $\in$ {7, 21, 57} 그리고 8 $\notin$ {7, 21, 57}로 쓸수 있겠습니다. 다른 경우로 집합 A와 B가 존재할때, A의 모든 원소가 B의 원소도 된다면 이를 A가 B의 부분집합이라고 말하며 A $\subseteq$ B로 표기합니다. 

 

 집합에서 순서는 중요하지 않지만 집합의 한 원소가 여러번 사용하는것은 그렇지 않습니다. {57, 7, 7, 7, 21}인 집합 S가 있다고 합시다. 여기서 원소의 어커런스 수를 고려한다면 이를 집합 대신에 중복집합 multiset이라고 합니다. {7}과 {7, 7}이 다르다고 보면 중복 집합이고, 동일한 것으로 본다면 그냥 집합이 됩니다.

 

 무한 집합 infinite set은 무한개의 원소를 가지고 있는 경우를 말하는데, 무한 집합은 원소들의 리스트를 쓸수 없으므로 무한히 계속간다는 의미로 ". . ."을 사용하기도 합니다. 그래서 자연수 natural numbers N에 대한 집합을 아래와 같이 정리할수 있겠습니다.

 

{1, 2, 3, . . .}

 

 정수 Z의 집합은 다음과 같습니다.

 

{. . ., -2, -1, 0, 1, 2, . . .}

 

 맴버가 0인 집합은 공집합 empty set이라고 부르며 $\varnothing$라고 씁니다. 원소가 1개인 집합은 싱글톤 집합 singleton set이라 하며, 원소가 2개를 가진 집합을 비순서쌍 집합 unordered pair이라고 합니다.

 

 어느 규칙을 따르는 원소의 집합을 표현하고 싶을때에는 { n | n에 대한 규칙 }을 적으면 되고, 예시로 제곱의 집합은 {n | n = $m^2$, m $\in$ N }이라고 하면 됩니다.

 

 만약 A와 B라는 집합 두개를 가지고 있고, 이 두 집합 A, B의 합집합 union은 A $\cup$ B라고 쓰며 이 집합은 A와 B의 모든 원소를 하나의 집합에 합한것이 됩니다. A와 B의 교집합 intersection은 A $\cup$ B라고 적으며, A와 B 둘다에 들어있는 원소들의 집합을 말합니다. A의 보수 complement는 $\bar{A}$라고 적으며, A가 아닌 모든 원소의 집합을 의미합니다.

 

 수학적으로 어느 경우를 그림으로 표현할 때가 있는데, 집합에 대해 그린 그림을 벤다이어 그램이라고 합니다. 벤다이어그램은 집합을 원 영역안에 넣어서 나타내는데요. t로 시작하는 영어 단어들에 대한 집합의 경우 start-t 집합으로 해서 아래와 같이 그릴수 있겠습니다.

 

 z로 끝나는 영어단어의 집합을 END-z라고 할때 다음과 같이 나타낼수 있겠습니다.

 

 

 

 이번에는 두 집합에 속하는 경우를 벤다이어 그램으로 그려보겠습니다. 이 때 두 집합에 속하는 원소가 겹치도록 그려야 하는데요. 토파즈 topaz라는 단어는 START-t에도 속하고 END-z에도 속하게 될겁니다.

 

 

 집합 A와 B의 합집합과 교집합을 그려보면 다음과 같겠습니다.