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7.3 마르코브 위치 추정 markov localization

표 7.1 마르코브 위치 추정

 

 확률적 위치 추정 알고리즘은 베이즈 필터의 변형으로, 베이즈 필터의 직관적인 위치 추정 문제에 대한 직관적인 응용을 마르코브 위치 추정이라고 합니다. 표 7.1은기본 알고리즘을 보여주고 있습니다. 이 알고리즘은 (표 2.1) 기본 베이즈 필터로부터 구할수 있는데, 마르코브 위치 추정은 입력으로 지도 m을 필요로 하고있습니다. 이 지도는 4번째 줄에서 과 

관측 모델 p($z_t$ | $x_t$, m)에서 사용되고 있습니다. 하지만 3번째 줄 처럼 동작 모델 p($x_t$ | $u_t$, $x_{t-1}$, m)에서 사용되기도 합니다. 베이즈 필터처럼 마르코브 위치 추정은 시간 t-1에서의 확률적 신뢰도가 시간 t에 대한 신뢰도로 변환을 수행하며 전역 위치 추정, 위치 추적 문제, 로봇 납치 문제 등을 다루게 됩니다.

 

 초기 신뢰도 bel($x_0$)는 로봇의 초기 자세를 의미하는데, 위치 추정의 문제에 따라 다르게 설정됩니다.

 

- 위치 추적 position tracking

 초기 위치를 알고 있다면, bel($x_0$)는 점 질량 분포로 초기화되어 $\bar{x_0}$는 (알려진) 초기 자세를 의미합니다.

 

 점 질량 분포는 이산적으로 밀도를 소유하지 않습니다.

 현실적으로 초기 위치는 종종 근사되기도 하는데, 신뢰도 bel($x_0$)은 $\bar{x_0}$를 중심으로하는 좁은 가우시안 분포로 초기화 됩니다. 가우시안은 (2.4)에서 정의하였으며 다음과 같이 정리할 수 있습니다. $\Sigma$는 초기 자세 불확실성의 공분산이 됩니다.

- 전역 위치 추정 global localization

 만약 초기 자세를 알수 없다면, bel($x_0$)는 지도 모든 공간에 대해 균일 분포로 초기화 됩니다. 여기서 |X|는 지도 전체 공간에 대한 양(르베그 측량)을 나타냅니다.

 

- 다른것들

 로봇의 자세에 대한 부분적인 지식은 적절한 초기 분포로 변환될수도 있는데, 예를들어 로봇이 문 앞에 존재한다면 문을 제외한 공간의 밀도를 0에 가까운 균일 분포를 따르게 됩니다. 

 

7.4 마르코브 위치 추정 설명 illustration of markov localization

그림 7.4 마르코브 위치 추정 알고리즘 과정. 각 그림은 복도에서 로봇의 자세와 현재 신뢰도 bel(x)를 보여주고 있습니다. (b)와 (d)는 추가적으로 관측 모델 p($z_t$ | $x_t$)을 보여주고 있습니다.

 

 이미 이 자료 앞에서 마르코브 위치 추정에 대해 다루어봤씁니다. 이 번예제에서는 수학적인 프레임워크를 사용해서 다뤄보겠는데 그림 7.3은 구분할 수 있는 문 3개가 존제하는 1차원 복도를 보여주고 있습니다. 초기 신뢰도 bel($x_t$)는 그림 7.4a에서 모든 자세에 대해 균일 분포를 따르고 있으며, 로봇은 센서로 측정을하고 문중 하나를 감지했을 때 4번 줄처럼 신뢰도 bel($x_0$)를 p($z_t$ | $x_t$, m)를 곱하게 됩니다. 그림 7.4b의 위 밀도는 p($z_t$ | $x_t$, m)을 보여주고, 아래의 밀도는 로봇의 균일 사전 신뢰도에 이 밀도를 곱한 결과가 됩니다. 결과 신뢰도는 멀티 모달로 이 지점에서 로봇의 불확실성들을 반영하고 있습니다.

 

 로봇이 우측으로 이동하는경우는 그림 7.4c에서 보여주고있지만 마르코브 위치추정 알고리즘의 3번째 줄에 따라 신뢰도와 동작 모델 p($x_t$ | $u_t$, $x_{t-1}$)사이에 컨벌루션을 수행하게 됩니다. 이 동작 모델은 단일 자세만이 아니라 노이즈 없는 동작 후에 예상되는 전체 기대 자세를 보여주고 있습니다. 이효과를 그림 7.4c엣 ㅓ보여주는데 컨볼루션의 결과로 이동한 신뢰도가 더 평평해진것을 볼수 있습니다.

 

 그림 7.4d에서 마지막 측정이 수행되는데, 여기서 마르코브 위치 추정알고리즘을 통해 현재 신뢰도가 인지 확률 p($z_t$ | $x_t$)를 곱하게 되고 이 때 대부분의 확률질량은 올바른 위치에 집중하게 되어 이 곳이 로봇이 존재한다고 할수 있는 지점이 됩니다. 그림 7.4e는 복도에서 로봇이 움직인 후의 신뢰도를 보여주고 있습니다.

 

 이미 마르코브 위치추정은 상태 공간상에서 시간에 대해 독립임을 알고있습니다. 또한 2장에서 사용한 표현으로 구현할수 있는데, 실제 현실에서 이동로봇을 위치 추정시키기위한 효과적인 알고리즘과 표현법 3가지를 살펴보겠습니다. 우선 칼만 필터로 시작하겠는데 여기서 신뢰도를 1차, 2차 모멘트로 표현합니다. 그리고 이산 공간에 대해서 다루면서 그리드 표현법을 보고, 마지막으로 파티클 필터를 사용한 알고리즘에 대해서 소개하겠습니다. 

 

 

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