수치해석 및 실습 - 1 수치 해석과 MATLAB

수치해석 소개

- 공학 문제를 수식화하여 이에 대한 해를 수치적으로 구함

- 방정식, 행렬연산, 회귀분석, 미적분 등 수치적 알고리즘 이해

- MATLAB 활용 방법 학습

 

=> 수치해석 알고리즘 이해 및 응용

-> MATLAB 활용능력 향상

 

목적

- 공학 분야 연구, 개발에는 계산기를 이용하여 설계나 수치 시뮬레이션 작업이 많음.

- 수치해석의 영역은 폭이 넓고 동일한 문제에 대해서도 수많은 알고리즘이 있다.

- 기초적인 수치해석법 및 실제로 자주 이용되는 수치해석 알고리즘 학습

 

목표

- 공학문제 수식화하여 해를 수치적으로 구함

- 비선형 방정식, 행렬연산, 회귀분석, 미적분 수치알고리즘 이해

 

 

1. 수치 해석의 역사와 특징

2. 매트랩 개요

 

 

 

수치해석

- 해석학 문제에서 수치적인 근사값을 구하는 알고리즘 연구하는 학문

- 수학적 문제로 표현할수있는 문제들을 컴퓨터로 해결하는 수학 응용분야에 사용

 

 

수치해석

- 해석학 문제에서 수치적인 근사값을 구하는 알고리즘을 연구하는 학문

-> 연속 수학 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 연구하는 학문

- 자연과학, 공학, 의학 등 문제들 중 수학적인 문제로 표현될수 있는 문제들을 컴퓨터로 해결하는 학문

 

 

공학적 문제의 접근 방법

1. 실험적 방법

- 실험이나 관찰을 통해 수집한 데이터를 분석하여 인과관계를 규명하는 방법

- 장점 : 신뢰성 높음

- 단점 : 실험 비용, 측정 오차 문제가 발생

 

2. 이론적 방법

- 문제에 대한 가설을 세우고 수학적 증면으로 인과관계를 규명하는 방법

- 장점 : 일반화된 정보를 제공

- 단점 : 보통의 경우 선형 문제에만 국한됨

 

3. 수치해석적 방법

- 주어진 공학적 문제에 해일것으로 추정되는 수치를 차례로 대입하여 가장 작은 오차를 가진 수치를 해라고 판단하는 방법

- 장점 : 복잡한 물리현상도 취급, 선형성과 무관, 실험적 방법보다 간단

- 단점 : 반복 계산의 부담이 존재함.

 

 

 

 

수치 해석의 시작

- 가장 오래된 수치해석은 바빌로니아 사람들이 점토판에 60진법으로 단위길이 사각형의 대각선 길이인 sqrt(2)의 수치적 근사값을 구해놓음

- sqrt(2)의 근사값이 60진법으로 소수점 이하 4자리 까지 계산되어있음

=> 현대의 수치해석도 정확한 해를 구하지 못함. 합리적 수준의 오차를 갖는 근사값을 구하는것이 중요해짐

 

 

 

 

수치해석

- 폰 노이만 이래 현대 컴퓨터의 태동과 발전의 직접적인 견인차 역활

-> 실생활, 국방, 자연현상 등 수치해석은 예측결과를 컴퓨터를 통해 미리알아볼수 있게 함.

 

 

현대 수치해석의 목표

- 현대의 수치해석 역시 정확한 해를 구하지 못하여 하지 않음

-> 합리적인 정도의 오차를 갖는 근사값을 구하는것에 집중함

 

 

 

수치 해석의 응용 분야

1. 공학과 물리학

2. 생명 공학, 예술 분야

-> 상미분 방정식 : 행성들의 움직임과 포트폴리오 관리의 최적화 등에 이용

-> 마르코브 연쇄 : 의약과 생명분야에서 살아있는 세포에 대한 시뮬레이션을 하기 위한 필수 항목으로 자리잡음

 

 

 

 

수치해석 문제 해결 방법

1. 수학적 모형화

 - 해결하고자 하는 문제를 역학, 생물학, 경제학 등 기본 가설이나 법칙들 사용

 - 상/편 미분방정식, 대수 방정식 등의 수학적인 문제로 변형하는 단계

2. 수학적 분석

 - 수학적 모형화 과정을 거쳐 생성된 수학적 문제를 미분방정식, 함수해석학, 기하학 및 대수학 등 가능한 수학 이론들 적용

 - 해의 유일성, 존재성 및 정칙성 등 분석하는 단계

3. 수치적 분석

 - 좁은 의미의 수치해석

 - 수학적 분석에서 다루어진 문제의 해가 존재하면, 이 해를 어떻게 컴퓨터로 구할것인가 수치적 알고리즘 개발

 - 이 알고리즘을 적용하여 이 알고리즘을 적용하여 구한 해의 수렴 성 판정 및 오차 분석 등 하는 단계

4. 수치 실험

 - 실제로 가장 효율적인 수치 알고리즘에 따라 프로그램을 작성하여 원래 문제를 해결하는 단계

 

 

 

 

매트랩 개요

 

매트랩이란?

- 수치해석 분야에 편리한 도구

- 수치해석, 행렬연산, 신호처리 및 간단한 그래픽 기능 통합

- 고성능 수치 계산 및 결과의 시각화 기능 제공

 

 

매트랩

- 수치해석에 편리한도구

- 문법이 간단 : 변수 데이터 타입 지정안해도됨

- 배열 사용이 간단 : 크기 지정안해도됨

- 행렬계산에서 병렬처리가능

- 계싼결과 즉시 확인 가능 : 그래프, 3차원 도형 등

- MATrix LABoratory

- 수치해석, 행렬 연산, 신호 처리 및 간단한 그래픽 기능등을 통합하여 고성능 수치계싼 및 결과의 시각화 기능 제공하는 프로그램

 

 

매트랩 특징

- 인터프리터 방식 언어

- 수학 계싼 및 가시화에 편리

- 선형대수, 데이터 분석, 신호처리, 수치적분 등 많은 과학 계산용 내장함수를 제공

- 사용자에 의한 함수 작성 편리

- 다양한 분야의 광범위한 툴방스 제공

 

 

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