통계 - 11. 베이즈 위험

베이즈 위험 bayes risk

 - ex. 1. 암환자를 잘못 오진해서 음성이라 판단한경우 위험이 크다

       2. 암환자가 아닌 사람을 오진해서 양성이라 판단한 경우 위험은 작다.

 => 잘못 분류하나 경우 벌점을 고려해야함.

- 벌점(비용) cost ( C_ij ) : omega_j 클래스를 omega_i로 골랐을때의 비용

- 벌점(비용)의 기대값 = 베이즈 위험

 

 

베이즈 위험 정리

- 비용의 기대값인 베이즈 위험은 아래와 같이 정리할 수 있다.

- 베이즈 위험을 최소화 하기 위해선 아래와 같이 잘못 판단한 경우에 대한 확률이 최소가 되어야 한다.

- 이를 전개해보면

- 모든 영역에 대해 우도를 합하면 1이므로 아래가 성립

 

- 위 성질과 전개한 결과를 정리해서 다음과 같이 표현하자.

 

- 이를 정리하면 아래의 식을 구할수 있으며, 앞의 두 항은 R1구하는데 필요없는 상수이므로 생략 가능

 => R을 최소로하는 R1을 구하면 되겠다.

 

 

 

베이즈 위험을 이용한 결정 영역 최소화 정리

- 위 결정영역 R에 대한 식을 R1을 최소화 시키는 값을 구하는 바꿔보자