컴퓨터 비전 & 패턴 인식 - 13. 이미지 미분

이미지 미분

 

에지 검출을 하기 위해서

 

이미지 영상의 미분 수행이 필요하다.

 

이미지의 경우 y축 방향, x축 방향이 존재하는데 어떻게 미분하는가

 

연속 공간에서의 미분

 

우선 연속 함수의 도함수를 생각해보자

 

함수 f(x)에서 x에서 x의 미소증분이 0에 가까울때 변화하는 정도는 아래와 같이 구할수 있었다.

 

 

 

 

이미지에서의 미분

 

하지만 우리가 다루는 이미지는 위와 같은 연속이 아닌 이산적 공간에서 다루어야 한다.

 

그러므로 미소증분을 0이 아닌 1로 한 도함수를 정리하면 아래와 같다.

 

 

이는 영상 f(x)가 주어질때 [-1, 1] 마스크로 컨볼루션 하는것과 같은 결과가 나오게 된다.

 

 

이러한 영상은 이산 공간에서 미분을 취한것이므로 도함수, 미분 영상이라고 부른다.

 

 

이 영상을 특정 임계치로 이진화 시킨것을 에지 영상이며.

 

 

도함수 영상을 구할때 사용한 마스크를 에지 연산자, 에지 마스크라 한다.

 

 

 

이미지의 2차 미분

 

이미지의 에지는 밝기가 변하는 부분으로 조금더 자세히 살펴볼 필요가 있다.

 

대표적인 에지로는 계단 신호의 형태를 띄는 계단 에지와

 

램프 신호 형태의 서서히 변화하는 램프 에지가 있다.

 

아래의 에지 모델이 주어질때 1차 미분영상과 2차 미분 영상을 얻을 수 있다.

 

 

2차 미분에 대한 도함 수를 구하면. 다음과같이 [1, -2, 1]의 마스크를 구하게 된다.

 

 

 

1차 미분 영상을 살펴보면 계단이 시작하는 지점에서 봉우리 지역 극대점이 나오므로

 

1차 미분 영상 만으로 에지를 찾을수 있긴 하다.

 

하지만 실제 영상에서는 주로 서서히 변하는 램프 에지가 많으므로

 

아래와 같이 두께가 1인 이상적인 에지가 아니라

 

정확한 에지 검출이 어려운 경우가 많다.

 

 

그래서 이차 미분 영상을 통해 지역 극대점 뿐만이 아니라

 

영교차 zero crossing가 발생하는 지점이 명확한 에지라고 볼수 있다.

 

 

* 에지 검출 전 이미지 노이즈를 제거해주는것이 중요

 

 

 

2차원 이미지의 미분 영상(그라디언트)

 

지금까지 1차원 이미지 f에 대한 미분 영상을 다루었다

 

하지만 실제 이미지는 y와 x축을 가진 2차원 영상이므로

 

f(y, x)의 각 방향에 대한 미분을 고려하여야 한다.

 

각 방향에 대한 미분 영상들을 그라디언트 벡터. 그라디언트라 부른다

 

 

* 그라디언트 : 다변수 함수의 각 변수에 대한 1차 편미분

* 자코비안 : 다변수 벡터 함수의 각 변수에 대한 일차 미분

* 헤시안 : 다변수 함수의 이차 미분

ref : darkpgmr.tistory.com/132

 

 

 

 

 

 

 

그라디언트, 에지 강도, 그라디언트 방향

 

그라디언트는 벡터이므로 강도와 방향을 얻을수 있는데,

 

그라디언트 방향은 에지 방향과 수직이며,

 

그라디언트 강도는 에지일 정도를 의미한다.