수치해석 - 1. 수치해석학 소개

수치 해석 전반 정리

 

1. 수치해석 시작

수치해석은 무엇? 왜 해야하는가? 어떻게해서 수학문제릃 해결할수 있는가?

-> 오차 -> 알고리즘

 

 

 

2. 변수가 하나인 비선형 방정식

이것의 솔루션 해를 찾기 힘들면

어떤 수치적인 방법을 찾을수 있겠는가 소개

bisection method, secant method, newton's method, muller's method 등 봄

 

 

3. 이산 데이터를 다항식으로

이러한 해를 찾는 방법들이 끝나면

실험이나 자현현상의 데이터는 끊어짐 연속되지 않은 이산적인 데이터

이산 데이터를 어떻게 스무스한 커브로 만들까?

-> largrange polynomial, divided difference

hermit interpolation, spline

 

 

4. 실제에 가까운 값 구하기

미분이 가능한 도함수 경우만 다룸

적분 역시원시함수로 정적분값을 정확한 가질수 있었음.

위와 같이 정확한 값을 못구하는 경우 어떻게 최대한 true value에 가까운 값을 구할수있는 방법

 

 

5. 초기치가 주어진 미분방정식을 해석적 방법으로 풀수 없는 경우

이후 공헙 수학, 미분방정식 문제를 다룸

특히 초기치가 주어진 미방 문제가 있을떄

해석 해 analytic solution, 미방 해를 손으로 풀수 없는 경우 어떻게 풀까?

taylor method나 runge-kutta method, predictor-crrector method 등 여러 방법들을 서로 비교하여

장/단점을 비교해보자

 

 

 

6. 연립일차 방정식 수치 해 구하는 방법 - 직접법

선형 대수와 관련된

선형 시스템, 연립일차 방정식

변수가 두개, 방정식이 두개인 경우 손으로 풀수 있으나

많아지면 손으로 풀수 없음.

연립일차방정식의 솔루션을 찾는 수치적 방법들을 소개

 

첫번째. direct method 직접법, 반복적 연산이 아니라 바로 해를 찾을수 있는 방법

-> 가우스 소거법

가우스 소거법을 할때 더 정확한 해를 구하기 위해 하는 pivot, inverse matrix를 구해서 하는 방법, factorization

연립 일차방정식에서 주어진 행렬 A를 어떻게 나누고 해를 찾을수 있겟는가 하는 방법들을 소개

특별한 행렬들은 쉽개 해를 찾을수 있는 방법이 없을까 찾아봄

 

 

 

7. 반복법

direct method에 알고리즘을 넣으면 바로 해가 나옴

-> 다른 반복해서 해를 찾는 방법을 소개

norm이라는 개념이 필요

iterative method 소개

행렬이 특별한 성질을 가진 행렬이라고한다면 좀더 iterative method가 없는지 함깨 소개

 

 

8.  근사 approximation

문제들이 주어졌을떄 얼마만큼 거기에 유사한 가까이에 해를 찾는가 하는 방법

연립일차방정식에 해가없다고 풀지 못하는게 아니라 근사한, 해와 유사한 역활을할수 있는 근사값을 찾는 방법 소개

 

 

 

 

9. 고유값, 고유벡터 구하는 문제

고유값과 고유벡터를 구하는데 결적적인 역활을 하는 분해 방법들이 있음.

대각화 diagonalization

수학적 이론상 중요한 역활을하는 jordan canonical form

수치적 방법으로 유명한 schur decomposition

decomposition 중에서 아주 인기가 높아지는 singular value decomposition

 

앞에서 예기한 고유값을 어떻게 수치적으로 찾을수 있겠는가

householder, QR method까지 소개함

 

 

10. 비선형 방정식의 해를 찾는 방법들

- 하나인 경우 bisection method나 newton's method썻으나 변수가 여러개, 방정시고도 여러개

- 이러한 것들을 시스템이라고 하면, 비선형 시스템에 대한 솔루션을 구하는 방법

-> newton's method, quasi-newton method

 

 

11. 미분방정식 문제중 경계치가 주어진 경우(boundary value problem)

- linear shooting method, nonlinear shooting method 등 장단점 비교

 

 

 

12. 편미분 방정식

- 해석 솔루션을 찾을수 없다면 어떻게 수치적인 방법으로 근사해를 찾을수 있을까

- 유명한게 finite difference method, finite element method

 

 

 

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수학이란 무엇인가

 

 

1. 수치 해석을 하기 전에 선수 과목

 

선형 대수, 미적분, 미분방정식(공업 수학)

+ MATLAB 같은 코딩 언어

 

 

 

2. 수학 이란 무엇일까?

 우리는 평생 수학을 공부했지만 왜 공부한지 잘모름

 

산업 발전에서 중요한 역활, 과학의 언어

 

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수치 해석이란 무엇인가

 

1. 사전적 정의

 

근사 approximation,

오차 error

 

근사값과 에러만 구하는 학문 ? 부족함.

 

수치적 방법을 이용한 수학적 한 분야 ? 이해하기엔 부족

 

Llyod Trefethen(옥스포드 대)

- 수치해석의 정의 : continuos mathmatics 연속적인 수학문제를 다루는 알고리즘을 개발해서 함께 공부하는 과목

 

 

2. 오차, 에러란?

 

x라는 참값이 존재

x*는 x에 대한 근사값. 여러개 존재가능

 

근사값을 하나를 선택 시 차 -> 절대적 오차 absolute error(참값과 선택된 근사값의 차)

절대 오차를 참값의 절댓값으로 나누는 경우 -> 상대적 오차 relative error

 

무슨 에러가 좋은가? 둘다 장단점을 가지고 있어서 사용됨

 

절대 오차의 장점

- 계산하기 쉬움, 얼마만큼 틀린지 정확히 눈에 보임

상대오차의 장점

- 상대적인 에러의 크기를 알 수 있음. 

 

100 - 1, 10 - 1 -> 두 경우다 절대 오차는 1이나 상대 오차는 1/100, 1/10이 됨 오차의 영향을 알 수 있음

 

 

3. 근사

참값을 알고 있으면 참값을 쓰면 되나, 

오차 계산은 실제 참값을 아는 문제를, 수치적 방법으로 근사값을 구하여 비교

 

참값을 모르는 문제가 있을때 어떻게 할까?

참값을 아는 문제로 개발한 방법으로

참값을 모르는 문제에 적용하여 해를 구하면 에러가 어느정도 안에 들어갈것이다 생각하고 문제 품.

=>참값을 모르더라도 수치적인 방법으로 근사값을 구해 사용

 

 

 

4. 수학적 모델

 참 값을 모르더라도 오차는 적은게 좋음

에러가 어디에서 발생하는가? 파악하면 오차를 줄일수 있지않을까? -> 수학적 모델 이용

 

 

5. 알고리즘

- 알고리즘을 구현하여 근사값을 구하려고함.

- 알고리즘 고안 시 중요한 것은 알고리즘이 stable 한지 unstable한지 확인해야힘.

- 인풋 데이터의 에러로 알고리즘이 수학적으로 안정적이고 참이나 unstable할 수 있음.

- 알고리즘을 버리기 보다는 조건을 주면 안정적이지 않을까 고민해야 함.

 

 

6. 반복법 iterative method

- 반복법을 이용하여 해를 찾을것임 -> 해로 수렴하는가 안하는가는 매우 중요함

- 수렴성 뿐만아니라 얼마나 빨리 수렴하느냐 rate of convergence도 매우 중요함

 

 

 

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수치해석의 영역 - 수치해석은 어디에 있는가?

 

 중학교에서 처음 집합을 만남

집합들 사이 원소간의 관계 -> 대응 correspondence

의미 있는 대응들 =>함수 function

 

 대학교 1학년때 극한을 배움

- 연속인지 알야야 함 -> 미분 -> 도함수

 

 직선은 1차원. 차수가 낮음 but 우리가 사는 공간은 3차원, +시간을 한다면 4차원

=> 함수는 몇차원으로 주어짐

 

 우리가 모르는 미래를 방정식을 세워 예측해야함

- 자연 현상을 수학적으로 표현하면 미분이 들어감.

-> 미래를 예측하기 위해 미분 방정식이됨

=> 미분 방정식은 이 세상을 표현하는데 매우 유용함.

 

 수치해석은 미분 방정식을 해결함

- 미분 방정식을 어떻게 수치적으로 푸는것인가가 중요

 

 미분의 개념이 없다면 비선형 방정식 뿐일 것

함수들 중에 linear 선형성을 가진 함수를 고려해야함

- 행렬로 표현하여 연립 일차 방정식을 어떻게 풀까?

행렬로 고유값과 고유벡터는 어떻게 될까?

행렬을 어떻게 분해하여 활용할수 있을까?

함수를 이용해서 차원과 함꼐 설명하면 무엇을 하는지 설명이 가능해짐